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« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions

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{{Proposition
| contenu =
Sur un <math>\R</math>ℝ-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
}}
{{Démonstration déroulante
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Considérons maintenant un <math>\R</math>ℝ-espace vectoriel <math>''E</math>'' de dimension finie <math>''n</math>''. Alors, <math>''E</math>'' est isomorphe à <math>\R^n</math>. Notons <math>\phi:\R^n\to E</math> un tel isomorphisme.
 
Soient <math>N_1</math> et <math>N_2</math> deux normes sur <math>''E</math>'' ; on vérifie que <math>N_1 \circ \phi</math> et <math>N_2 \circ \phi</math> sont des normes sur <math>\R^n</math>, qui sont donc équivalentes.
 
Il existe donc <math>C_1,C_2 >0</math> tels que <math>\forall x\in\R^n\quad C_1N_1\circ\phi (x)\le N_2\circ\phi(x)\le C_2N_1\circ\phi(x)</math>. La surjectivité de <math>\phi</math> permet alors de conclure.
}}
;Remarque
:En particulier sur un <math>\C</math>-espace vectoriel <math>''E</math>'' de dimension finie <math>n</math>''m'', toutes les normes sont équivalentes, puisque <math>''E</math>'' est alors un <math>\R</math>-espace vectoriel de dimension finie <math>2n</math>2''m''.
 
 
Ligne 113 :
{{Proposition
| contenu={{Wikipédia|Théorème de Borel-Lebesgue}}
Une partie d'un ℝ-e.v.n. <math>E</math> de dimension finie est compacte si (et seulement si) elle est fermée et bornée.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Nous avons déjà vu qu'uneque dans un e.v.n. quelconque, toute partie compacte est fermée et bornée.
 
:Réciproquement, soit <math>B=(e_1,\cdots,e_n)</math> une base de <math>E</math> et <math>N\ :\ E \to \R</math> une norme définie par : <math>N(\sum_{i=1}^nx_ie_i)=\max_{1\leq i \leq n}|x_i|</math>.
Réciproquement, soit ''A'' une partie fermée et bornée d'un ℝ-e.v.n. ''E'' de dimension finie ''n''. Alors, ''E'' est isomorphe à ℝ{{exp|''n''}}. Notons <math>f:E\to\R^n</math> un tel isomorphisme. Les applications <math>f</math> et <math>f^{-1}</math> sont [[../Limites et continuité#Cas particulier des applications linéaires|linéaires continues]] (quelles que soient les normes choisies sur ''E'' et sur ℝ{{exp|''n''}}, puisque toutes les normes sur un ℝ-e.v. de dimension finie sont équivalentes).
:Soit <math>A</math> une partie fermée et bornée de <math>E</math>.
:L'application <math>\phi\ :\ E \to \R^n</math> définie par <math>\phi (\sum_{i=1}^nx_ie_i)=(x_i,\cdots,x_n)</math> est alors une bijection continue (en considérant la norme infinie sur <math>\R^n</math>) dont l'inverse est également continue. Ainsi, <math>\phif(A)</math> est une partie fermée et bornée de <math>\R^ℝ{{exp|''n</math>,''}} ; elle est donc compacte., Onsi enbien déduitque immédiatementson queimage <math>A</math> estpar compacte comme image dl'un compacte par une application continue (<math>\phif^{-1}</math>) est compacte.
:Notons que si <math>E</math> est muni d'une autre norme, alors le résultat est inchangé car nous venons de voir que toutes les normes sont équivalentes dans les espaces de dimension finie.
}}
Réciproquement :
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| titre = Théorème de Riesz
| contenu ={{Wikipédia|Lemme de Riesz#Théorème de Riesz|Théorème de Riesz}}
Un ℝ-e.v.n. <math>(E,\|\cdot\|)</math> est de dimension finie si (et seulement si) sa boule unité fermée est compacte.
}}
{{Démonstration déroulante
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