« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions

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→‎Compacité et dimension finie : \|y-\frac{u}{\|u\|}\| < \frac{1}{2} remplacé par \|y-\frac{u}{\|u\|}\| \leq \frac{1}{2}, sinon c'est faux pour u = 0
→‎Compacité et dimension finie : par ailleurs, le cas u = 0 n'était pas pertinent ici
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Un ℝ-e.v.n. est de dimension finie si (et seulement si) sa boule unité fermée est compacte.
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{{Démonstration déroulante|contenu=
LaSoit boule''E'' unitéun ferméeℝ-e.v.n.. estSa évidemmentboule unité fermée et bornée donc elle<math>B_F=B_F(0,1)</math> est compacte d'après le théorème précédent si <math>''E</math>'' est de dimension finie.
|contenu =
La boule unité fermée est évidemment fermée et bornée donc elle est compacte d'après le théorème précédent si <math>E</math> est de dimension finie.
 
Réciproquement, supposons que la boule unité fermée <math>B_F=B_F(0,1)</math> est compacte.
 
La famille <math>(B(x,1/2))_{x\in B_F}</math> est un recouvrement ouvert de <math>B_F</math> dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(B(x_i,1/2))_{1\leq i \leq n}</math>.
 
Notons alors <math>F</math> le sous-espace engendré par la famille <math>(x_1,\dots ,x_n)</math>, et montrons que <math>F=E</math>. Supposons donc que <math>F\neq E</math>.
:Soit <math>x\in E\setminus F</math>. <math>F</math> étant de dimension finie, il est fermé, et la distance <math>r</math> de <math>x</math> à <math>F</math> est donc strictement positive. Il existe donc <math>y\in F</math> vérifiant <math>r\leq \|x-y\| <2r</math>.
 
Soit:Posons <math>u \in E=x-y</math>. Il existe alors <math>z\in F</math> tel que <math>\|z-u-z\|\le\frac{\|u\|}2</math>. En effet, pour <math>u\ne0</math>, <math>\frac u{\|u\|} \in B_F</math> donc il existe <math>yt\in\{x_1,\dots,x_n\}</math> tel que <math>\left\|y-\frac u{\|u\|}-t\right\|<\frac12</math>. On pose alors <math>z=\|u\|yt</math>. Le cas <math>u=0</math> étant évident, cela montre notre résultat.
:D'après ce qui précède, <math>\|x-(y+z)\|\le\frac{\|u\|}2<d(x,F)</math>, ce qui est contradictoire avec <math>y+z\in F</math>.
 
Or, <math>z+y\in F</math>, ce qui est contradictoire avec <math>r\leq \|x-y\|</math>. Ceci prouve que <math>F=E</math> et donc que <math>E</math> est de dimension finie.
Soit <math>x\in E\setminus F</math>. <math>F</math> étant de dimension finie, il est fermé, et la distance <math>r</math> de <math>x</math> à <math>F</math> est donc strictement positive. Il existe donc <math>y\in F</math> vérifiant <math>r\leq \|x-y\| <2r</math>.
 
D'après ce qui précède, il existe <math>z\in F</math> tel que <math>\|x-(z+y)\|=\|(x-y)-z\|\le\frac{\|x-y\|}2< r</math>.
 
Or, <math>z+y\in F</math>, ce qui est contradictoire avec <math>r\leq \|x-y\|</math>. Ceci prouve que <math>F=E</math> et donc que <math>E</math> est de dimension finie.
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