« Espaces vectoriels normés/Dimension finie » : différence entre les versions
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→Compacité et dimension finie : \|y-\frac{u}{\|u\|}\| < \frac{1}{2} remplacé par \|y-\frac{u}{\|u\|}\| \leq \frac{1}{2}, sinon c'est faux pour u = 0 |
→Compacité et dimension finie : par ailleurs, le cas u = 0 n'était pas pertinent ici |
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Un ℝ-e.v.n. est de dimension finie si (et seulement si) sa boule unité fermée est compacte.
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{{Démonstration déroulante|contenu=
▲La boule unité fermée est évidemment fermée et bornée donc elle est compacte d'après le théorème précédent si <math>E</math> est de dimension finie.
Réciproquement, supposons que
La famille <math>(B(x,1/2))_{x\in B_F}</math> est un recouvrement ouvert de <math>B_F</math> dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(B(x_i,1/2))_{1\leq i \leq n}</math>.
Notons alors <math>F</math> le sous-espace engendré par la famille <math>(x_1,\dots ,x_n)</math>, et montrons que <math>F=E</math>. Supposons donc que <math>F\neq E</math>.
:Soit <math>x\in E\setminus F</math>. <math>F</math> étant de dimension finie, il est fermé, et la distance <math>r</math> de <math>x</math> à <math>F</math> est donc strictement positive. Il existe donc <math>y\in F</math> vérifiant <math>r\leq \|x-y\| <2r</math>.▼
:D'après ce qui précède, <math>\|x-(y+z)\|\le\frac{\|u\|}2<d(x,F)</math>, ce qui est contradictoire avec <math>y+z\in F</math>.
▲Soit <math>x\in E\setminus F</math>. <math>F</math> étant de dimension finie, il est fermé, et la distance <math>r</math> de <math>x</math> à <math>F</math> est donc strictement positive. Il existe donc <math>y\in F</math> vérifiant <math>r\leq \|x-y\| <2r</math>.
▲Or, <math>z+y\in F</math>, ce qui est contradictoire avec <math>r\leq \|x-y\|</math>. Ceci prouve que <math>F=E</math> et donc que <math>E</math> est de dimension finie.
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