« Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions » : différence entre les versions

Le domaine d’une fonction n’est pas toujours un ensemble. Par exemple, soit f la fonction qui à un ensemble x associe l’ensemble Singleton de x , qui contient x comme unique élément. Le domaine de f est la classe de tous les ensembles. Je dis ici la classe et non l’ensemble, parce que dans de nombreuses théories, l’ensemble de tous les ensembles n’existe pas et ne peut pas exister sous peine de contradiction.

Lorsque le domaine de f est un ensemble, f elle-même peut être considérée comme l’ensemble de tous les couples (x, fx) pour lesquels fx existe. Un ensemble de couples est en général défini comme l’extension conceptuelle d’un prédicat binaire, ou formule à deux variables libres, ou relation binaire. Un ensemble F de couples est considéré comme une fonction si et seulement si pour tous x, y, et z , si (x, y) et (x, z) sont dans F alors y=z. Cette propriété traduit l’univocité de la relation définie par F. On dit aussi que F définit une relation fonctionnelle. C’est en accord avec la signification courante que x est fonction de y lorsque y suffit pour déterminer x, lorsque x ne dépend que de y. Comme les sciences consistent toujours à établir de tels liens de dépendance entre les êtres ou les évènements, les fonctions sont des êtres abstraits d’une importance considérable.