« Polynôme/Définitions » : différence entre les versions
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m Des espaces ont été ajoutés après certaines expressions mathématiques. Ensuite, je ne sais pas si c'était une erreur, mais la propriété après "remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors..." a beaucoup plus de sens en remplaçant "h(x)=0" par "h(x)\ne0", donc elle a aussi été modifiée |
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Ligne 59 :
Donc, <math>f(X)-g(X)=(a_n-b_n)X^n+...+ (a_2-b_2)X^2+(a_1-b_1)X+(a_0-b_0)=0</math>pour tout <math>X</math>
Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale <math>h</math> nulle pour toute valeur de <math>X</math> (on dit que <math>h</math> est identiquement nulle)
Pour le démonter, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel <math>\eta</math> tel que <math>\forall x \in\sqsubset-\eta ; \eta\sqsupset</math>, <math>h(x)
Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :
Ligne 69 :
<u>Hérédité</u> : Supposons que la propriété soit vraie pour <math>n-1</math>. Montrons que c'est aussi le cas pour <math>n</math>.
Soit le polynôme <math>B</math> tel que <math>B(X)=\beta_nX^n+...+\beta_2X^2+...\beta_1X+\beta_0</math> et <math>B(x)=0 </math> pour tout <math>x</math>.
Donc, <math>B(0)=\beta_0=0</math>.
On peut donc écrire <math>B</math> sous la forme <math>B(X)=\beta_nX^n+...+\beta_3X^3+\beta_2X^2+\beta_1X</math>.
On pose maintenant le polynôme <math>A(X)</math> tel que <math>A(x)\times x=B(x)</math>. Ainsi, <math>A(X)=\beta_nX^(n-1)+...+\beta_3X^2+\beta_2X+\beta_1</math>
D'autre part, pour tout <math>x\neq0</math>, <math>A(x)=0</math>. Or, d'après le lemme démontré précédemment, <math>A(0)=0</math>. En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel <math>\eta</math> tel que <math>\forall x \in\sqsubset-\eta ; \eta\sqsupset</math>, <math>A(x)
Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, <math>\beta_1=\beta_2=...\beta_n=0=\beta_0</math>.
Ligne 85 :
Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.
Ainsi, <math>f-g</math> est identiquement nulle. Donc, <math>a_n=b_n ... a_2=b_2 ; a_1=b_1 ; a_0=b_0</math>: le théorème est démontré.
Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante
Ligne 91 :
'''Propriété :'''
Soit deux fonctions polynomiales <math>f</math> et <math>g</math> telles que <math>f = g</math> et
<math>f : K \rightarrow K
Ligne 99 :
<math>X\rightarrow a_nX^n+ ...+a_2X^2+a_1X+a_0</math> <math>X\rightarrow b_mX^m+...+b_2X^2+b_1X+b_0</math>
Avec <math>n</math> et <math>m</math> différents de 0.
On a alors <math>n=m</math> et <math>a_n=b_m ... a_2=b_2 ; a_1=b_1 ; a_0=b_0</math>.
== Degré d'un polynôme ==
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