« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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→Exercice 15 : Dérivée directionnelle |
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Ligne 280 :
<math>\|f(b)-f(a)\|^2\le(b-a)M\|f(b)-f(a)\|</math>, qui donne l'inégalité voulue.
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==Exercice 15==
{{Wikipédia|Dérivée directionnelle}}
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux e.v.n. et <math>f:E\to F</math> une application différentiable en un point <math>a</math>. Montrer que <math>f</math> admet en <math>a</math> des dérivées directionnelles dans toutes les directions, et plus précisément :
:<math>\lim_{t\to0\atop t\ne0}\frac{f(a+tu)-f(a)}t=\mathrm df_a(u)</math>
pour tout vecteur unitaire <math>u\in E</math> (donc en fait pour tout vecteur <math>u\in E</math>).
{{Solution|contenu=
Soit <math>u\in E</math> un vecteur unitaire.
:<math>\frac{f(a+tu)-f(a)}t=\frac{\mathrm df_a(tu)+\|tu\|\varepsilon(tu)}t=\mathrm df_a(u)+\frac{|t|}t\varepsilon(tu)=\mathrm df_a(u)+\eta(t)</math>,
avec <math>\lim_0\varepsilon=0</math> donc <math>\lim_0\eta=0</math>.
}}
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