« Fondements des mathématiques/Des preuves de cohérence » : différence entre les versions

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=== Comment prouver la vérité des axiomes ? ===
Leibniz a posé en principe que tout axiome, tout principe, doit être prouvé. Mais il n’a pas dit très précisément comment le faire. AÀ partir de quels principes peut-on prouver la vérité des principes ?
 
Pour prouver que quelque chose est vrai, il faut avoir une idée de la vérité. La théorie des modèles donne une telle idée et un moyen de prouver qu’un axiome est vrai. Un système d’axiomes est vrai quand il y a un modèle pour lui. Il suffit de trouver un modèle et la vérité de tous les axiomes est automatiquement établie. C’est vrai pour toutes les formules, pas seulement les axiomes. Pour prouver la vérité d’une formule, il faut prouver qu’elle est vraie dans un modèle. Mais habituellement une formule est prouvée à partir d’axiomes et le modèle, s’il existe, est seulement implicite. Cela suffit pour prouver la vérité de cette formule dans le modèle pourvu que l’on sache déjà que les axiomes y sont vrais et que les déductions logiques soient valides.
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Avant de définir des méthodes formelles, nous savons que certaines de nos raisonnements naturels sont fiables, parce que leurs principes sont nécessaires pour tout être rationnel, au sens où toute personne qui prend le temps d’y penser tombe d’accord sur leur nécessité. Si nous n’étions pas convaincus par la vérité de ces principes élémentaires (règles de déduction, vérités sur les mots, les formules et leurs ensembles, ...) alors nous ne pourrions pas être rationnels. Nous sommes convaincus que certaines preuves ont quelque chose à voir avec la vérité. Avant d’énoncer formellement nos principes, nous savons ou nous croyons qu’ils ont une part de vérité. Pourrions-nous avoir tort ?
 
Que les principes fondamentaux de la raison soient faux ne pourra jamais être prouvé parce que cette preuve affirmerait qu’il n’y a aucune preuve valide et se contredirait elle-même. Est-ce que cet argument prouve que les principes fondamentaux de la raison contiennent une part de vérité ? Il peut être considéré comme une sorte de confirmation, mais le point important est que la preuve de la fiabilité des principes de preuve n’est pas une étape préliminaire obligatoire pour établir la validité d’une preuve. Cette interprétation du principe de Leibniz conduirait à une régression à l’infini et serait donc absurde. AÀ chaque fois que nous donnons une preuve, nous pouvons supposer une sorte d’accord tacite et préalable sur la validité d’au moins quelques principes de preuve, même s’ils ne sont pas clairement formulés.
 
Les découvertes scientifiques sont en vérité de bien meilleures preuves de la validité de nos principes de preuve que tout argument a priori.