« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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→Exercice 15 : Dérivée directionnelle |
→Exercice 15 : +1 |
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Ligne 291 :
:<math>\frac{f(a+tu)-f(a)}t=\frac{\mathrm df_a(tu)+\|tu\|\varepsilon(tu)}t=\mathrm df_a(u)+\frac{|t|}t\varepsilon(tu)=\mathrm df_a(u)+\eta(t)</math>,
avec <math>\lim_0\varepsilon=0</math> donc <math>\lim_0\eta=0</math>.
}}
==Exercice 16==
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux e.v.n. réels. Une application <math>f:E\to F</math> est dite [[w:Fonction homogène|homogène]] de degré <math>m\in\N</math> si <math>\forall x\in E\quad\forall t\in\R\qquad f(tx)=t^mf(x)</math>.
#Parmi les fonctions homogènes de degré <math>0</math>, lesquelles sont continues en <math>0</math> ?
#Montrer que si <math>f</math> est homogène de degré <math>m>0</math> et bornée sur la sphère unité, alors <math>f</math> est continue en <math>0</math>.
#Montrer que si <math>f</math> est homogène de degré <math>m\ge1</math> et différentiable en <math>0</math>, alors ou bien <math>f</math> est linéaire (et <math>m=1</math>), ou bien <math>m>1</math> et <math>\mathrm df_0=0</math>.
#Montrer que si <math>f</math> est homogène de degré <math>m>1</math> et bornée sur la sphère unité, alors <math>f</math> est différentiable en <math>0</math> (et <math>\mathrm df_0=0</math>).
#Application : étudier, en fonction de <math>p,q\in\N^*</math>, la continuité et la différentiabilité de la fonction <math>f:\R^2\to\R</math> définie par
#:<math>f(x,y)=\frac{x^py^q}{x^2-xy+y^2}</math> si <math>(x,y)\ne(0,0)</math> et <math>f(0,0)=0</math>.
{{Solution|contenu=
#Les fonctions constantes (pour que <math>\forall x\in E\quad f(0)=\lim_{t\to0\atop t\ne0}f(tx)=f(x)</math>).
#Sous ces hypothèses, on a bien <math>\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{r\to0\atop\|u\|=1}f(ru)=\lim_{r\to0\atop\|u\|=1}r^mf(u)=0=f(0).</math>
#Sous ces hypothèses, <math>\mathrm df_0(x)=\lim_{t\to0\atop t\ne0}\frac{f(tx)-f(0)}t=\lim_{t\to0\atop t\ne0}t^{m-1}f(x)</math> est égal à <math>f(x)</math> si <math>m=1</math>, et à <math>0</math> si <math>m>1</math>.
#Sous ces hypothèses, <math>\varepsilon(ru):=\frac{f(ru)}r=r^{m-1}f(u)</math> tend bien vers <math>0</math> quand <math>r\to0</math> (pour <math>u</math> variant arbitrairement sur la sphère unité).
#Remarquons d'abord que <math>f</math> est bien définie et (par continuité sur un compact) bornée sur le cercle unité. En effet, la fonction <math>g:=\cos^2-\cos\times\sin+\sin^2</math> (<math>\pi</math>-périodique) a pour dérivée <math>g'(\theta)=\sin^2\theta-\cos^2\theta=-\cos(2\theta)</math> donc pour minimum <math>g(\pi/4)=1/2>0</math>.<br><math>f</math> est clairement C{{exp|∞}} sur <math>\R^2\setminus\{(0,0)\}</math>.<br>Elle est homogène de degré <math>p+q-2</math> donc d'après les questions précédentes, elle est continue si et seulement si <math>p+q>2</math> et différentiable (de différentielle nulle en <math>(0,0)</math>) si et seulement si <math>p+q>3</math>.
}}
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