« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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m →Exercice 16 : Style |
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Ligne 308 :
#Sous ces hypothèses (et en utilisant l'exercice précédent), <math>\mathrm df_0(x)=\lim_{t\to0\atop t\ne0}\frac{f(tx)-f(0)}t=\lim_{t\to0\atop t\ne0}t^{m-1}f(x)</math> est égal à <math>f(x)</math> si <math>m=1</math>, et à <math>0</math> si <math>m>1</math>.
#Sous ces hypothèses, <math>\varepsilon(ru):=\frac{f(ru)}r=r^{m-1}f(u)</math> tend bien vers <math>0</math> quand <math>r\to0</math> (pour <math>u</math> variant arbitrairement sur la sphère unité).
#<math>f</math> et <math>g</math> sont homogènes de degré <math>1</math> mais non linéaires, donc continues mais non différentiables en <math>(0,0)</math>.<br>Quant à <math>h</math>, remarquons d'abord qu'elle est bien définie et (par continuité sur un compact) bornée sur le cercle unité. En effet, la fonction <math>k:=\cos^2-\cos\times\sin+\sin^2</math> (<math>\pi</math>-périodique) a pour dérivée <math>k'(\theta)=\sin^2\theta-\cos^2\theta=-\cos(2\theta)</math> donc pour minimum <math>k(\pi/4)=1/2>0</math>.<br><math>h</math> est homogène de degré <math>p+q-2</math> donc d'après les questions précédentes, en <math>(0,0)</math>, elle est continue si et seulement si <math>p+q>2</math> et différentiable
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