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==Exercice 15==
{{Wikipédia|Dérivée directionnelle}}
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux e.v.n. et <math>f:E\to F</math> une application. différentiableLa endérivée undirectionnelle pointde <math>af</math>. Montreren queun point <math>fa\in E</math> admetselon enun vecteur <math>au\in E</math> desest dérivéespar directionnellesdéfinition dansla touteslimite les directionssuivante, et pluslorsqu'elle précisémentexiste :
:<math>\lim_{t\to0\atop t\ne0}\frac{f(a+tu)-f(a)}t=\mathrm df_a(u)</math>.
#Vérifier que si cette dérivée directionnelle selon <math>u</math> existe, alors celle selon <math>\lambda u</math> existe aussi et est le produit par <math>\lambda</math> de celle selon <math>u</math> (pour tout scalaire <math>\lambda</math>).
pour tout vecteur unitaire <math>u\in E</math> (donc en fait pour tout vecteur <math>u\in E</math>).
#Montrer que si <math>f</math> est différentiable en <math>a</math> alors sa dérivée directionnelle en <math>a</math> selon <math>u</math> existe et est égale à <math>\mathrm df_a(u)</math> (pour tout vecteur <math>u\in E</math>).
#Montrer que si, pour toute courbe <math>\gamma:\R\to E</math> telle que <math>\gamma(0)=a</math> et <math>\gamma'(0)=u</math>, la fonction <math>f\circ\gamma</math> est dérivable en <math>0</math>, alors <math>f</math> admet en <math>a</math> une dérivée directionnelle selon <math>u</math>.
{{Solution|contenu=
#Si <math>\lambda=0</math>, c'est trivial. Supposons donc <math>\lambda\ne0</math> et posons <math>s:=t\lambda</math>. Alors, <math>{t\to0\atop t\ne0}\Leftrightarrow{s\to0\atop s\ne0}</math> et <math>\frac{f(a+t\lambda u)-f(a)}t=\lambda\frac{f(a+su)-f(a)}s</math>.
Soit <math>u\in E</math> un vecteur unitaire.
:#<math>\frac{f(a+tu)-f(a)}t=\frac{\mathrm df_a(tu)+\|tu\|\varepsilon(tu)}t=\mathrm df_a(u)+\frac{|t|}t\|u\|\varepsilon(tu)=\mathrm df_a(u)+\eta(t)</math>,<br>avec <math>\lim_0\varepsilon=0</math> donc <math>\lim_0\eta=0</math>. (D'après la question précédente, on pourrait même se limiter au cas où <math>u</math> est unitaire.)
#Il suffit de considérer la courbe rectiligne <math>\gamma(t)=a+tu</math>.
avec <math>\lim_0\varepsilon=0</math> donc <math>\lim_0\eta=0</math>.
}}