« Axiomes des théories des ensembles/Les ensembles finitaires » : différence entre les versions
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L’ensemble de tous les ensembles énumérables peut être choisi comme base de la théorie des ensembles finitaires, au même sens où les nombres entiers ont été choisis comme base des mathématiques classiques. L’avantage de ce choix est qu’il permet d’énoncer des règles de production de vérités et des principes élémentaires de raisonnement avec beaucoup de généralité. Il suffit d’adapter les méthodes, classiques et éprouvées, de calcul sur les nombres entiers au calcul sur les ensembles énumérables. On obtient une théorie aussi fiable que la théorie des nombres entiers, c’est-à-dire absolument fiable.
Le principe de Saint Thomas, je crois ce que je vois, peut être appliqué aux ensembles de base que sont les ensembles énumérables. Comme les éléments de ces ensembles sont toujours des formules on peut les montrer. Dire la vérité sur une formule n’est alors pas très difficile. La formule aba commence par la lettre a, elle contient b mais pas c, elle est symétrique, ... Ces évidences semblent peut être peu intéressantes mais elles méritent cependant un peu d’attention parce qu’elles suffisent comme source de beaucoup de vérités mathématiques.
Même lorsque les règles sont très élémentaires, les ensembles finitaires peuvent être très compliqués et les vérités à leur sujet ne sont parfois pas du tout évidentes, même si elles sont atomiques. On sait qu’elles sont des vérités parce que les axiomes sont vrais. Mais comment sait-on que les axiomes sont vrais ? Comment le prouve-t-on ?
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