« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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Ligne 138 :
##On pose <math>\Theta_f(x,y) = x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math> et <math>\Psi_f(x,y)=-y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>. Exprimer <math>\Theta_f\circ\phi</math> et <math>\Psi_f\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math> (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les [[w:Opérateur différentiel|opérateurs différentiels]] <math>\Theta</math> et <math>\Psi</math>).
##Plus généralement, exprimer <math>\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi</math> et <math>\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math>.
##Exprimer de même le « laplacien en coordonnées polaires », c'est-à-dire <math>(\Delta f)\circ\phi</math>, où <math>\Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial
{{Solution|contenu=
#En développant <math>\operatorname J_{f\circ\phi}(s,t)=(J_f)_{\phi(s,t)}\times(J_\phi)_{(s,t)}</math>, on trouve :<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial s}(s,t)=\frac{\partial f}{\partial x}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_1}{\partial s}(s,t)+\frac{\partial f}{\partial y}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_2}{\partial s}(s,t)</math> et<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial t}(s,t)=\frac{\partial f}{\partial x}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_1}{\partial t}(s,t)+\frac{\partial f}{\partial y}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_2}{\partial t}(s,t)</math>.
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