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#<math>\phi=g\circ L</math> avec <math>L:\R\to\R^2,\;x\mapsto(x,-x)</math> linéaire donc <math>\phi</math> est différentiable et <math>\mathrm d\phi_x=\mathrm d g_{L(x)}\circ\mathrm d L_x=\mathrm d g_{(x,-x)}\circ L</math>, c.-à-d.<br><math>\mathrm d\phi_x(u)=\mathrm d g_{(x,-x)}(u,-u)=\frac{\partial g}{\partial x}(x,-x)u+\frac{\partial g}{\partial y}(x,-x)(-u)</math> autrement dit : <math>\phi</math> est dérivable et <math>\phi'(x)=\frac{\partial g}{\partial x}(x,-x)-\frac{\partial g}{\partial y}(x,-x)</math>.
#<math>\psi=g\circ T</math> avec <math>T:\R^2\to\R^2,\;(x,y)\mapsto(y,x)</math> linéaire donc <math>\psi</math> est différentiable et <math>\mathrm d\psi_{(x,y)}=\mathrm d g_{\,T(x,y)}\circ\mathrm d T_{(x,y)}=\mathrm d g_{(y,x)}\circ T</math>, c.-à-d.<br><math>\mathrm d\psi_{(x,y)}(u,v)=\mathrm d g_{(y,x)}(v,u)=\frac{\partial g}{\partial x}(y,x)v+\frac{\partial g}{\partial y}(y,x)u</math>.
#<math>h=f\circ a\circ(p,+g)</math> avec <math>p,a</math> définies par <math>p(x,y)=x</math> et <math>a(x,z)=x+z</math>.<br><math>p,a:\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto x</math> sont linéaireslinéaire donc <math>h</math> est différentiable et<br><math>\mathrm d h_dh_{(x,y)}=f'(x+g(x,y))\times\mathrm d a_{(x,g(x,y))}\circ(\mathrm d p_{(x,y)},\mathrm d g_{(x,y)})=f'(x+g(x,y))\times a\circ(p,\mathrm d g_{(x,y)})=f'(x+g(x,y))\times(p+\mathrm d g_{(x,y)})</math>, c.-à-d.<br><math>\mathrm d h_{(x,y)}(u,v)=f'(x+g(x,y))\left[\left(1+\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\right)u+\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)v\right]</math>.
#<math>k=f\circ m\circ(p,q,\times g)</math> avec <math>p,q,m</math> définies par <math>p(x,y)=x</math>, <math>q(x,y)=y</math> et <math>m(x,y,z)=xy^2z</math>.<br><math>p,q:\R^2\to\R</math>,\;(x,y)\mapsto sont linéaires et <math>m:\Rxy^3\to\R2</math> est polynomiale, avec. <math>\mathrm d m_dq_{(x,y,z)}(u,v,w)=y^2zu2u+2xyzv+xy^2w2xyv</math>., Doncdonc <math>k</math> est différentiable et <br><math>\mathrm d k_dk_{(x,y)}=f'(xy^2g(x,y))\times\mathrm d m_{(x,y,g(x,y))}\circ(\mathrm d p_dq_{(x,y)},\mathrm d q_{+q(x,y)},\mathrm d g_{(x,y)})=f'(xy^2g(x,y))\times\mathrm d m_{(x,y,g(x,y))}\circ(p,q,\mathrm d g_dg_{(x,y)})</math>, c.-à-d.<br><math>\begin{align}\mathrm d k_{(x,y)}(u,v&)&=f'(x+g(x,y))\left[\left(y^2gg(x,y)y^2+xy^2\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\right)u+\left(2xygg(x,y)2xy+xy^2\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)\right)v\right]
\end{align}</math>.
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