« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions

==Exercice 12==

Soit <math>F:\R^2\to\R^2,\;(x,y)\mapsto(\cos x-\sin y,\sin x-\cos y)</math>.

#Montrer que <math>\forall M\in\R^2\quad|\!|\!|\mathrm dF_M|\!|\!|\le\sqrt2</math>, où <math>|\!|\!|~|\!|\!|</math> désigne la norme subordonnée à la norme euclidienne sur <math>\R^2</math>.

#En déduire que pour tout <math>M_0\in\R^2</math>, la suite <math>M</math> définie par <math>\forall n\in\N\quad M_{n+1}=\frac12F(M_n)</math> est convergente.

#D'après l'inégalité des accroissements finis, <math>\frac12F</math> est <math>\frac\sqrt22</math>-lipschitzienne. On conclut grâce au [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|théorème du point fixe de Picard-Banach]].

}}

==Exercice 13==

Déterminer les fonctions dérivables <math>f:\R\to\R</math> telles que <math>\forall(x,y)\in\R^2\quad f(x+y)=f(x+f(y))</math>.