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« Calcul différentiel/Recherches d'extrema » : différence entre les versions

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Dans ce chapitre, nous allons aborder des théorèmes qui portent sur l’existence d'extrema '''locaux''' de fonctions définies sur des '''ouverts''', puis nous verrons des méthodes plus générales permettant de trouver des extrema.
 
{{Attention|<math>\Omega</math> désigne un '''ouvert''' de <math>\R^n</math> dans tout le chapitre. (Les théorèmes suivants sont inapplicables sans cette hypothèse.)}}▼
 
== Définition ==
 
▲{{Attention|<math>\Omega</math> désigne un '''ouvert''' de <math>\R^n</math> dans tout le chapitre. (Les théorèmes suivants sont inapplicables sans cette hypothèse.)}}
 
{{Définition
|titre = Extremum local
|contenu =
Soit une fonction <math>f:\Omega \rightarrow to\R</math> et un point <math>x_0\in\Omega</math>.
 
 
Si <math>x_0 \in \Omegaf</math>, f admet un maximum ''(respectivement minimum)'' local en <math>x_0</math> s'il existe <math>\rho > 0</math> tel que
* la boule de centre <math>x_0</math> et de rayon <math>\rho</math> soit incluse dans <math>\Omega</math> ;
tel que
* lapour boule detout centrepoint <math>x_0x</math> et de rayoncette boule, <math>f(x)\rholeqslant f(x_0)</math> soit incluse dans''(respectivement <math>f(x)\Omegageqslant f(x_0)</math>)''.
* en tout point x de la boule, <math>f(x) \leqslant f(x_0)</math> ''(respectivement <math>f(x) \geqslant f(x_0)</math>)''
 
 
Un extremum local est minimum ou un maximum local est un extremum local.
}}
 
Ligne 42 ⟶ 40 :
|titre = Point critique
|contenu =
Si <math>x_0 \in \Omega</math>, <math>x_0</math> est un point critique de <math>f</math> si sa différentielle (d'ordre 1) est nulle.
}}
 
Ligne 74 ⟶ 72 :
|titre = Matrice hessienne
|contenu =
Soient <math>f:\Omega \rightarrow to\R</math> dedeux classefois <math>C^2</math>différentiable eten <math>x_0\in \Omega</math>. La matrice hessienne de <math>f</math> en <math>x_0</math>
est la matrice de sa différentielle d'ordre 2 en <math>x_0</math> :
 
<math>(Hf)_{x_0}:=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0)\right)_{i,j}</math>.
}}
 
Ligne 87 ⟶ 85 :
|titre = condition nécessaire d'existence d'un extremum
|contenu =
Soit <math>f:\Omega \rightarrow to\R</math> dedeux classefois différentiable en <math>C^2x_0\in\Omega</math> et <math>Q</math> sa différentielle d'ordre 2 en ce point.
 
Soit <math>Q</math> la différentielle d'ordre 2 de <math>f</math> en <math>x_0 \in \Omega</math>.
 
* Si <math>f</math> admet un minimum local en <math>x_0</math> alors <math>Q</math> est positive.
Ligne 106 ⟶ 102 :
Pour u assez petit, <math>f(x_0 + uh) \leqslant f(x_0)</math>,
 
donc <math>\frac{1}frac1{2!} Q(h) + u^2 \| h \|^2 \epsilon(u) \leqslant 0</math>
 
 
Ligne 114 ⟶ 110 :
 
 
'''remarqueRemarque''' : il faut penser à remplacer <math>h</math> par <math>uh</math> dans la formule de Taylor-Young pour pouvoir écrire
la dernière inégalité pour tout <math>h</math> et pas seulement pour h petit.
}}
Ligne 126 ⟶ 122 :
|titre = condition suffisante d'existence d'un extremum
|contenu =
Soit <math>f:\Omega \rightarrow \R</math> dedeux classefois différentiable en un point critique <math>C^2x_0 \in \Omega</math>. et
Soitsoit ''Q'' lasa différentielle d'ordre 2 deen <math>f</math> ence <math>x_0</math>point.▼
 
Soit <math>x_0 \in \Omega</math> un point critique.
 
▲Soit ''Q'' la différentielle d'ordre 2 de <math>f</math> en <math>x_0</math>.
 
* Si ''Q'' est définie positive, <math>f</math> admet en <math>x_0</math> un minimum local strict.
* Si ''Q'' est définie négative, <math>f</math> admet en <math>x_0</math> un maximum local strict.
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