« Théorie physique des distributions/Produit de convolution » : différence entre les versions
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m →Produit de convolution entre deux distributions : grammaire |
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Ligne 34 :
Dans l'intégrale entre parenthèse, faisons le changement de variable <math>y
<math> \forall\varphi\in\mathcal{D}\quad <T_{p\star q},\varphi>\, = \int_{-\infty}^\infty p(x)\left(\int_{-\infty}^\infty\varphi(x+y)q(y)\, \mathrm dy\right)\, \mathrm dx</math>
Ligne 58 ⟶ 59 :
<math> \forall\varphi\in\mathcal{D}\quad <T_{p\star q},\varphi>\, = \int_{-\infty}^\infty p(x)<T_q,\tau_{-x}\varphi>\, \mathrm dx </math>
Posons
<math> \forall x\in\R\quad\psi(x) = <T_q,\tau_{-x}\varphi> </math>
Ligne 67 ⟶ 68 :
Si on définit par ⋆ l'opération de convolution entre deux distributions régulières T<sub>p</sub> et T<sub>q</sub> en posant :▼
▲Si on définit par
<math> T_p \star T_q = T_{p\star q} </math>▼
▲<math display="block"> T_p \star T_q = T_{p\star q} </math>
Nous voyons que nous avons obtenu la définition suivante pour le produit de convolution de deux distributions régulières T<sub>p</sub> et T<sub>q</sub> :
Ligne 101 ⟶ 103 :
== Produit de convolution entre deux distributions ==
L'activité du paragraphe précédent nous incite à définir le produit de convolution de deux distributions (pas forcément régulière) ainsi :
{{Définition
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