« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions

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{{Solution|contenu=
#<math>\forall x\in\ker v\quad u\circ v(x)=u\left(v(x)\right)=u(0)=0</math> donc <math>x\in\ker u\circ v</math>. On a donc bien <math>\ker v\subset\ker u\circ v</math>.<br />D'autre part (comme pour toutes applicationapplications de <math>E</math> dans <math>E</math>, même non linéaires) <math>\operatorname{im}v\circ u=v\circ u(E)=v\left(u(E)\right)\subset v(E)=\operatorname{im}v</math>.
#D'après la question 1, il reste à démontrer que <math>\ker u\circ v\subset\ker v\Leftrightarrow\ker u\cap\operatorname{im}v\subset\{0\}</math>.<br /><math>\ker u\cap\operatorname{im}v\subset\{0\}\Leftrightarrow\forall y\in\operatorname{im}v\quad\left(u(y)=0\Rightarrow y=0\right)\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\left(u\left(v(x)\right)=0\Rightarrow v(x)=0\right)\Leftrightarrow\ker u\circ v\subset\ker v</math>.
#D'après la question 1, il reste à démontrer que <math>\operatorname{im}v\subset\operatorname{im}v\circ u\Leftrightarrow E\subset\operatorname{im}u+\ker v</math>.<br /><math>E\subset\operatorname{im}u+\ker v\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\exists y\in\operatorname{im}u\quad v(x-y)=0\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\exists z\in E\quad v\left(x-u(z)\right)=0\Leftrightarrow\forall x\in E\quad\exists z\in E\quad v(x)=v\circ u(z)\Leftrightarrow\operatorname{im}v\subset\operatorname{im}v\circ u</math>.