« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

m
Orth.
m (màj)
m (Orth.)
:<math>u_n=O(v_n)\Longleftrightarrow\frac{u_n}{v_n}</math> est bornée.
}}
AÀ ce stade, il faut savoir comment se comporte la relation de comparaison vis-à-vis des opérations usuelles, et ici (contrairement à l'équivalence) tout se passe bien comme nous l'assure le résultat suivant :
{{Proposition
|titre =Proposition : Opérations sur <math>O</math>
|contenu=
Démontrons le premier point, les autres se démontrant de façon similaire.
:Soient <math> (u_n),(v_n),(w_n)</math> trois suites. Si <math>u_n=O(v_n)</math> alors <math>\exists N_0\in \N</math> et une suite <math>(\alpha_n)</math> bornée tels que <math>\forall n>N_0,\ u_n=\alpha_n v_n</math>. De même, <math>\exists N_1\in \N</math> et unune suite <math>(\beta_n)</math> bornée tels que <math>\forall n>N_1,\ u_n=\beta_n v_n</math>.
:Alors <math>\forall n>\max(N_0,N_1),\ u_n=\alpha_n \beta_n v_n</math>, et la suite <math>(\alpha_n \beta_n)</math> est bornée.
:Ce qui montre que <math>u_n=O(v_n)</math>.
 
== Interactions entre les notions ==
Dans cette partie nous allons donner des résultats sur le comportement des trois notions vues ci-dessus entre elles. AÀ ce stade, le lecteur débutant peut se sentir submergé par le nombre de résultatrésultats à retenir mais il faut bien voir qu'une fois les notions bien comprises (à travers des exercices), la majorité des résultats de cette leçon deviennent élémentaires. Les démonstrations découlant directement des définitions, elles seront laissées à titre d’exercice.
 
{{Remarque|contenu=
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