« Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions » : différence entre les versions
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Deux ensembles E et F ont le même nombre d’éléments lorsqu’il existe une relation, ou correspondance, biunivoque entre leurs éléments. On dit aussi une fonction inversible ou une bijection. Une relation binaire R est biunivoque lorqu’elle est une fonction dans les deux directions, lorsque chaque élément de E est relié à un élément et un seul de F et inversement. On dit aussi que E et F ont le même cardinal. Il y a deux définitions cantoriennes des nombres infinis, les cardinaux et les ordinaux. Les ordinaux sont très importants, plus que les cardinaux à bien des égards, et ils seront présentés dans le chapitre 5, mais pour prouver l’existence des ensembles indicibles, c’est la théorie des cardinaux qui permet de conclure.
Y a-t-il des ensembles infinis (strictement) plus grands que l’ensemble des entiers ? Oui. C’est la grande découverte de Cantor. Le nombre des nombres réels en particulier est un infini plus grand que le nombre des nombres entiers. On peut définir des nombres infinis toujours plus grands. Le grand théorème de Cantor permet de le comprendre : l’ensemble P(E) des sous-ensembles d’un ensemble E est toujours plus grand que E. Sa démonstration n’est pas très difficile. Elle se fait par l’absurde. Supposons qu’il existe une fonction inversible f entre E et P(E). Définissons le sous-ensemble C de E par x appartient à C si et seulement si x n’est pas élément de f(x). Comme C est élément de P(E) il existe c tel que C=f(c). c est-il élément de f(c) ? Le raisonnement est semblable à celui du paradoxe de Russell. Si c est
L’ensemble P(N) des ensembles de nombres entiers est donc plus grand que l’ensemble N des nombres entiers.
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