« Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 » : différence entre les versions

* <math>\sum_{n \ge 2} (\ln (n))x^n</math>

Il faut utiliser le critère de d'Alembert. Soit <math>a_n = \ln(n)</math>

<math>\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}.</math> Or <math>\lim_{n\rightarrowto \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = 1 = \lambda</math>

* <math>\sum_{n \ge 2}\frac{nlnn \ln(n)}{n^2+1}x^n</math>

Soit <math>c_n = \frac{nlnn \ln(n)}{n^2+1}.</math> D'Alembert : <math>\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|</math>

<math>=\frac{(n+1)\ln(n+1)}{(n+1)^2+1} \times \frac{n^2+1}{nlnn\ln(n)}</math>

<math>=\frac{nlnn\ln(n(1+\tfrac{1}{n})) + \ln(n(1+\tfrac{1}{n}))}{nlnn\ln(n)} \times \frac{n^2+1}{n^2+2n+2}</math>

<math>= \frac{nlnn\ln(n) + nlnn\ln(1+\tfrac{1}{n}) + \ln(n) + \ln(1+\tfrac{1}{n})}{nlnn\ln(n)} \times \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})}</math>

<math>= \left( 1 + \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} + \frac{1}{n} + \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} \right) \times \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})}</math>

Et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} = \frac{1}{n} = \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} = 0</math> et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})} = 1</math> donc <math>\lambda = 1\,</math> donc <math>R = 1\,</math>

* <math>\sum_{n \ge 0}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math>

<math>\frac{|f_{n+1}|}{|f_n|} = \frac{|\sin(\pi\sqrt{(n+1)^2+1})|}{|\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}\ ?</math> et

<math>|f_n|^{1/n} = |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|^{1/n} =\ ?</math>

<math>|\sin(\pi\sqrt{n^2+1})| \le 1</math> donc pour tout <math>z \in \mathbb{C},\ |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n| \le |z|^n.</math>

* Si <math>|z| < 1,\ \sum_{n \ge 0} |z|^n</math> est convergente, donc <math>\sum_{n \ge 0} |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z|^n</math> converge donc si <math>|z| < 1\,</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0} \sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math> est absolument convergente.

* Si <math>|z| > 1\,</math>, alors <math>\forall n \in \N : |z|^n > 1</math> alors <math>|\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n| > |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|</math>. Or <math>\sin(\pi\sqrt{n^2+1})</math> n'a pas de limite quand <math>n</math> tend vers l'infini, donc <math>\sin(\pi\sqrt{n^2+1})</math> ne tend pas vers zéro quand <math>n</math> tend vers l'infini. Donc si <math>|z| > 1\,</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math> diverge.