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{{Chapitre
| idfaculté = mathématiques
| numéro = 4
| précédent = [[../Adjoint/]]
| suivant = [[../Réduction des automorphismes autoadjoints/]]
| niveau = 14
}}
{{Définition
| contenu =
On appelle endomorphisme orthogonal de E tout endomorphisme u qui conserve le produit scalaire : <math>\forall (x,y)\in E^2,(u(x)|u(y))=(x|y)</math>.
}}
{{Remarque|contenu=Le déterminant d'un endomorphisme orthogonal est égal à ±1. C'est donc un automorphisme.
{{CfExo
| idfaculté =mathématiques
| exercice =[[../Exercices/Matrices orthogonales#Exercice 3-1|exercice 3-1]], question 2
}}
}}
== Plan vectoriel euclidien ==
Soit <math>A\in\mathrm O_2(\R)</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>A\in\mathrm M_2(\R)</math> un automorphisme orthogonal de <math>\R^2</math>.
Les colonnes de <math>A</math> forment une base orthonormée pour le produit scalaire standard donc
:<math>A=\begin{pmatrix}
a&-\varepsilon b\\
b&\varepsilon a
\end{pmatrix}</math> avec <math>a^2+b^2=1</math> et <math>\varepsilon=\det A=\pm1</math>.
La condition <math>a^2+b^2=1</math> équivaut à l'existence d'un réel <math>\theta</math> tel que <math>a=\cos\theta</math> et <math>b=\sin\theta</math>.
*Si <math>A\in\mathrm{SO}_2(\R)</math> alors <math>A=\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}</math>, la rotation d'angle <math>\theta</math>.
*Sinon, <math>A=\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\
\sin\theta&-\cos\theta
\end{pmatrix}</math>, la [[Application linéaire/Projecteurs, symétries|symétrie]] orthogonale d'axe dirigé par <math>(\cos(\theta/2),\sin(\theta/2))</math>.
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../Adjoint/]]
| suivant = [[../Réduction des automorphismes autoadjoints/]]
}}
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