« Dynamique/Énergétique du point matériel » : différence entre les versions

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L’énergétique est l’étude de l’énergie d'un corps, de ses différentes formes et de son échange avec le milieu extérieur.
 
L’énergie est une grandeur définie à l’aide du principe de conservation : par définition, l’énergie est une grandeur qui se conserve à l’échelle de l’Univers. L’Univers tout entier possède une certaine quantité d’énergie sensée ne jamais varier. Nous étudierons alors des résultats de conservation de l’énergie en mécanique, mais également de non-conservation (si l’énergie de l’Univers est senséecensée se conserver, rien n’interdit de penser que l’énergie d'un certain système particulier ne se conserve pas, et est transférée vers un autre système).
 
L'étude de l'énergie sera également l'occasion pour nous d'énoncer et de démontrer de nouveaux théorèmes de mécanique, qui rendront plus simple la résolution de certains problèmes de mécanique.
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Il est noté <math>\delta W
</math> et non pas <math>\text{d}W
</math> car il ne s'agit pas de la variation infinitésimale d'une fonction : contrairement, par exemple, à la vitesse que l'on peut définir en chaque instant et pour laquelle on peut donc représenter <math>\text{d}\mathbf{v}</math> (qui est, en gros, égal à <math>\mathbf{v}(t+\varepsilon)-\mathbf{v}(t)</math> quand <math>\varepsilon</math> devient petit), on ne peut pas faire cela pour le travail car le travail, par définition, n'est pas une grandeur instantanéinstantanée : c'est une grandeur qui symbolise la variation d'énergie entre deux instants (qui peuvent, éventuellement, être infiniment proches). C'est une grave erreur que d'écrire <math>\text{d}W
</math>, car cette erreur dénote un problème conceptuel : l'étudiant qui commet cette erreur n'a pas compris la définition du travail.
 
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On a <math>\mathbf{F}_{grav}=-\mathcal{G}\dfrac{mm'}{r^2}\mathbf{e}_r</math>. Cette force est conservative (elle ne dépend que de la position). On calcule donc
 
<math>\text{d}\mathcal{E}_{p\text{ }grav}=-\delta W=-\mathbf{F}\text{d}\mathbf{OM}=-\mathcal{G}\dfrac{mm'}{r^2}\mathbf{e}_r\text{d}r\mathbf{e}_r=-\mathcal{G}\dfrac{mm'}{r^2}\text{d}r</math> soit <math>\dfrac{\text{d}\mathcal{E}_p}{\text{d}r}=-\mathcal{G}\dfrac{mm'}{r^2}</math> soit <math>\mathcal{E}_{p\text{ }grav}(r)=\mathcal{G}\dfrac{mm'}{r} + cste</math>. On pose en généralegénéral <math>cste=0</math>
 
Concernant la force électrostatique, on a <math>\mathbf{F}_{elec}=\dfrac{qq'}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathbf{e}_r</math>. L'expression de la force électrostatique est analogue à l'expression de la force gravitationnelle (une constante multipliée par le produit des grandeurs caractéristiques (la masse ou la charge) et divisé par la distance au carré, le tout porté par un vecteur radial). Aussi les calculs sont-ils analogues également. On peut mener exactement les mêmes calculs et on trouve <math>\mathcal{E}_{p\text{ }elec}(r)=\dfrac{qq'}{4\pi\varepsilon_0r} + cste</math> et on pose en généralegénéral <math>cste=0</math>
 
==== Calcul de l'énergie potentielle de pesanteur ====
On a <math>\mathbf{P}=m\mathbf{g}</math>. Cette force est conservative (elle est même constante). On calcule donc
 
<math>\text{d}\mathcal{E}_{pp}=-\delta W = -\mathbf{F}\text{d}\mathbf{OM}=-m\mathbf{g}(\text{d}x\mathbf{e}_x+\text{d}y\mathbf{e}_y+\text{d}z\mathbf{e}_z)=-m\text{d}z\mathbf{g}.\mathbf{e}_z=mg\text{d}z</math>, soit <math>\dfrac{\text{d}\mathcal{E}_{pp}}{\text{d}z}=mg</math>, soit <math>\mathcal{E}_{pp}=mgz+cste</math> et on pose en généralegénéral <math>cste=0</math>
 
==== Calcul de l'énergie potentielle élastique ====
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L'étude énergétique nous permet également de discuter de la nature stable ou instable d'un équilibre. Soit une position d'équilibre, et soit un point <math>M</math> placé en cette position d'équilibre. L'équilibre est dit stable si, lorsque l'on éloigne le point <math>M</math> de cette position, il a naturellement tendance à retrouver cette position d'équilibre (par exemple, une bille posée dans un bol est en équilibre stable quand elle est au fond du bol). L'équilibre est dit instable si, lorsque l'on éloigne le point <math>M</math> de cette position, il ne retrouve pas cette position (par exemple, une bille posée tout en haut d'une haut d'une colline est en équilibre instable, si on l'éloigne du sommet elle dévalera la co lline et ne retrouvera pas le sommet).
[[Fichier:Balance.png|vignette|Courbe d'énergie potentielle]]
La stabilité ou l'instabilité d'un équilibre se situe de la courbe d'énergie potentielle (voir figure ci-contre). Si, en une position d'équilibre (ie en un maximum ou un minimum d'énergie potentielle), la courbe est convexe (c'est-à-dire au -dessus de sa tangente), alors la position est stable (position B sur la figure ci-contre). Si en une position d'équilibre la courbe est concave (c'est-à-dire au -dessous de sa tangente), alors la position est instable (position A sur la figure ci-contre).
 
Mathématiquement, soit <math>x_0</math> une position d'équilibre. Cet équilibre est stable si, et seulement si, <math>\left(\frac{\text{d}^2\mathcal{E}_p}{\text{d}x^2}\right)_{x_0}\geq 0</math>