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Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude (modifier)
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{{clr}}
== Suites de Cauchy ==
La notion générale de suite de Cauchy
{{Définition
| titre = Définition : [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|suite de Cauchy]]
}}
Voici
{{Propriété|titre=Propriétés▼
| contenu =
}}
▲{{Propriété
▲ | contenu =:*Toute suite de Cauchy est bornée.
▲:*Toute suite convergente est de Cauchy.
== Espace de Banach ==
}}
{{Exemple|titre=Exemple d'espace de Banach|contenu=
[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|ℝ{{exp|''n''}} est complet]] pour la [[../Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞] (donc en fait pour toutes les normes sur cet espace car, comme nous le verrons au chapitre suivant, toutes sont équivalentes).
}}
{{Exemple|titre=Exemples d'espaces non complets|contenu=
*L'[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|exemple classique d'espace métrique non complet]] est ℚ (muni de la distance usuelle).
*Pour trouver un exemple d'espace ''vectoriel normé'' (sur ℝ) non complet, il faut sortir des sentiers battus puisque d'après l'exemple ci-dessus, les e.v.n. réels de dimension finie sont complets. Mais en fait, [[w:Espace vectoriel normé#Complétude|tout e.v.n. réel de dimension dénombrable est non complet]].
}}
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