« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions

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{{clr}}
== Suites de Cauchy ==
La notion générale de suite de Cauchy dans à valeurs dans un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]] se particularise à un evne.v.n., avec la définition suivante :
{{Définition
| titre = Définition : [[Topologie générale/Complétude#Suite de Cauchy|suite de Cauchy]]
}}
 
Voici unedeux propriété[[Topologie vraiegénérale/Complétude#Propriétés|propriétés vraies dans tout espace métrique et qu'on démontre comme dans <math>\R</math>]] :
 
{{Propriété|titre=Propriétés
| contenu =
| contenu =:*Toute suite de Cauchy est bornée.
:*Toute suite convergente est de Cauchy.
}}
 
{{Propriété
| contenu =:*Toute suite de Cauchy est bornée.
:*Toute suite convergente est de Cauchy.
}}'''Remarque :''' La réciproque du deuxième point est fausse en générale, c'est ce qui conduit à la définition d'un espace complet au paragraphe suivant.
 
== Espace de Banach ==
}}
 
{{Exemple|titre=Exemple d'espace de Banach|contenu=
[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|ℝ{{exp|''n''}} est complet]] pour la [[../Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], pour tout ''p'' ∈ [1, +∞] (donc en fait pour toutes les normes sur cet espace car, comme nous le verrons au chapitre suivant, toutes sont équivalentes).
}}
{{Exemple|titre=Exemples d'espaces non complets|contenu=
*L'[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|exemple classique d'espace métrique non complet]] est ℚ (muni de la distance usuelle).
*Pour trouver un exemple d'espace ''vectoriel normé'' (sur ℝ) non complet, il faut sortir des sentiers battus puisque d'après l'exemple ci-dessus, les e.v.n. réels de dimension finie sont complets. Mais en fait, [[w:Espace vectoriel normé#Complétude|tout e.v.n. réel de dimension dénombrable est non complet]].
}}
 
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