« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions

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{{Exemple|titre=Exemples d'espaces non complets|contenu=
*L'[[Topologie générale/Complétude#Espace complet|exemple classique d'espace métrique non complet]] est ℚ (muni de la distance usuelle).
*Pour trouver un exemple d'espace ''vectoriel normé'' (sur ℝ) non complet, il faut sortir des sentiers battus puisque d'après l'exemple ci-dessus, les e.v.n. réels de dimension finie sont complets. Mais en fait, [[w:Espace vectoriel normé#Complétude|tout e.v.n. réel de dimension dénombrable est non complet]]. Plus concrètement : <math>\R[X]</math> vu comme sous-e.v.n. de <math>C([0,1])</math> (l'espace des fonctions continues de <math>[0,1]</math> dans <math>\R</math>, muni de la norme de la convergence uniforme), est (comme ℚ dans ℝ) dense ([[Suites et séries de fonctions/Approximation de fonctions|théorème de Stone-Weierstrass]]) donc non fermé donc non complet.
}}
 
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