« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions

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{{Exercice
{{SI|Transféré dans [[../Récurrence affine d'ordre 2]]}}
| titre = Exercice de cours
| idfaculté = mathématiques
| numéro = 2
| précédent = [[../Suites arithmético-géométriques/]]
| suivant = [[../Récurrence linéaire d'ordre 2/]]
| niveau = 14
|chapitre=[[../../Récurrence affine d'ordre 2/]]
}}
 
Les deux premiers exercices visent à vérifier votre assimilation des résultats du cours : les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d’utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon.
 
Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.
 
==Exercice 1==
Soit <math>\left(a_n\right)_{n\in\N}</math> une suite telle que :
:<math>\forall n\in\N^*\quad\frac14 a_n + \frac12 a_{n-1} + 1 = 0</math>.
#Exprimer <math>a_n</math> en fonction de ''n'' et <math>a_0</math>.
#La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?
 
{{Solution|contenu=
'''1.''' La relation de récurrence peut également s'écrire
:<math>\forall n \in \N\quad a_{n+1}=-2a_n-4</math>.
Il s'agit d'une suite récurrente affine d'ordre 1, de la forme
:<math>a_{n+1}=\alpha a_n+\beta</math> avec <math>\alpha=-2\ne1</math> et <math>\beta=-4</math>
L'expression explicite de <math>\left(a_n\right)</math> est alors :
:<math>\forall n\in\N\quad a_n=\alpha^n(a_0-r)+r</math> avec <math>r=\frac\beta{1-\alpha}=-\frac43</math>,
c'est-à-dire :
:<math>a_n=(-2)^n\left (a_0+\frac43\right )-\frac43</math>.
 
'''2.''' La convergence de <math>\left(a_n\right)</math> dépend alors de la valeur de <math>a_0</math> :
* Si <math>a_0=-\frac43</math>, la suite stationne à <math>-\frac43</math>, donc elle converge vers <math>-\frac43</math>.
* Si <math>a_0\ne-\frac43</math>, la suite n'a pas de limite.}}
 
==Exercice 2==
#Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par : <math>u_0 = u_1 = 1,\quad5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n = 3</math>.<br>Exprimer <math>u_n</math> en fonction de ''n''. Quelle est la limite de cette suite ?
#Soit <math>(v_n)</math> la suite définie par : <math>v_0 = 1, v_1 = -1,\quad\frac12 v_{n+1} - v_n = \frac23 \left( v_{n+2} - 5 \right)</math>. Exprimer <math>v_n</math> en fonction de ''n''.
{{Solution|titre=Solution de la question 1|contenu=
* On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : <math>5t_{n+2}-4t_{n+1}-t_n=0</math>.
* Le polynôme caractéristique associé est <math>P(X)=5X^2-4X-1</math>.
* Le discriminant de ''P'' vaut <math>\Delta=16-4~(-1)~5=36</math> donc ''P'' admet deux racines réelles <math>r_1=1</math> et <math>r_2=-\frac15</math>.
* L'ensemble des solutions de l'équation linéaire est alors constitué des suites <math>(t_n)</math> de la forme <math>t_n=\alpha + \beta \left ( -\frac15 \right )^n</math>, avec <math>(\alpha,\beta) \in \R^2</math>.
* On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence affine originale.
** On a ''P''(1) = 0. On étudie donc <math>P'(X)=10X-4</math>
** <math>P'(1)\ne0</math> donc la suite <math>\left(\frac n2\right)</math> est solution particulière de l'équation de récurrence affine.
* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence affine est alors constitué des suites <math>(s_n)</math> de la forme <math>s_n=\alpha + \beta \left ( -\frac15 \right )^n+\frac n2</math>, avec <math>(\alpha,\beta) \in \R^2</math>.
* On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de ''u<sub>n</sub>'' en trouvant <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> :
*:<math>\begin{cases}
1=u_0=\alpha+\beta\\
1=u_1=\alpha-\frac\beta5+\frac12
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\alpha+\beta=1\\
\alpha-\frac\beta5=\frac12
\end{cases}\Leftrightarrow(\alpha,\beta)=\left ( \frac7{12},\frac5{12}\right )</math>.
Finalement : <math>\forall n \in \N\quad u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2</math>.
 
<math>\forall n \in \N\quad u_n\ge\frac7{12}-\frac5{12}\frac15+\frac n2</math> donc <math>u_n\to+\infty</math>.
}}
{{Solution|titre=Solution de la question 2|contenu=
* On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : <math>4t_{n+2}-3t_{n+1}+6t_n=0</math>.
* Le polynôme caractéristique associé est <math>P(X)=4X^2-3X+6</math>.
* Le discriminant de ''P'' vaut <math>\Delta=9-4.4.6=-87</math> donc ''P'' admet deux racines complexes conjuguées <math>r_1=\frac{3+\mathrm i\sqrt{87}}8</math> et <math>r_2=\frac{3-\mathrm i\sqrt{87}}8</math>, de même module <math>\rho=\frac{\sqrt6}2</math> et d'arguments respectifs <math>\theta=\arctan\frac{\sqrt{87}}3</math> et <math>-\theta</math>.
* L'ensemble des solutions de l'équation linéaire est alors constitué des suites <math>(t_n)</math> de la forme <math>t_n=\rho^n (A \cos(n\theta)+B\sin(n\theta))</math>, avec <math>(A,B)\in\R^2</math>.
* On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence affine originale.
**On a ''P''(1) ≠ 0 donc la suite constante <math>\left(\frac{20}7\right)</math> est solution particulière de l'équation de récurrence affine.
* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence affine est alors constitué des suites <math>(s_n)</math> de la forme <math>s_n=\rho^n (A \cos(n\theta)+B\sin(n\theta))+\frac{20}7</math>, avec <math>(A,B)\in\R^2</math>.
* On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de ''v<sub>n</sub>'' en trouvant ''A'' et ''B'' :
*:<math>\begin{cases}1=v_0=A+\frac{20}7\\-1=v_1=\rho(A \cos\theta+B\sin\theta)+\frac{20}7\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
A=-\frac{13}7\\
-\frac{27}7=\frac{\sqrt6}2 \left(-\frac{13}7 \frac{\sqrt6}8+B\frac{\sqrt{58}}8 \right )
\end{cases}\Leftrightarrow(A,B)=\left (-\frac{13}7,-\frac{59\sqrt{87}}{203}\right )</math>.
Finalement : <math>\forall n \in \N\quad v_n=\left ( \frac{\sqrt6}2\right )^n \left (-\frac{13}7 \cos \left (n \arctan\frac{\sqrt{87}}3\right )-\frac{59\sqrt{87}}{203}\sin \left (n \arctan\frac{\sqrt{87}}3\right ) \right )+\frac{20}7</math>.
}}
 
==Exercice 3==
{{Wikipédia|Automate cellulaire}}
Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue ''pas à pas'', observant les structures qu’il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d’en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes affines d'ordre 2.
 
===Définition de l'automate===
Cet automate prendra deux valeurs, d'indices ''n'' et ''n'' + 1, et retournera la valeur d'indice ''n'' + 2. On incrémente alors ''n'' et l'on recommence l'opération.
 
Les règles sont :
* <math>(0, 0) \mapsto 1</math> ;
* <math>(1, 0) \mapsto 0</math> ;
* <math>(0, 1) \mapsto 0</math>.
 
L'automate reçoit les deux premières valeurs et les complète avec ces règles. Par exemple, si l'on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c’est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.
 
===Questions===
:'''1.''' Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente affine d'ordre 2. Cette mise en équation est-elle unique ? ;
:'''2.''' Montrer que l'équation linéaire associée n'admet pas de solutions réelles ;
:'''3.''' Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la séquence, celle-ci est périodique et ne contient pas deux 1 consécutifs.
 
{{Solution}}
 
===Oublions les règles===
Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.
 
:'''1.''' Le cas « 11 » n'est plus exclus : montrer que la solution est toujours périodique ;
:'''2.''' Existe-t-il une solution complexe à l'équation linéaire ? Est-elle bornée ?
 
{{Solution}}
 
On change les règles de l'automate (''x'' représente n’importe quel nombre, ce n’est pas une quantité fixe) :
* <math>(0, 0) \mapsto 0</math> ;
* <math>(a, b) \mapsto x \geq 0</math> si <math>a \geq b</math> ;
* <math>(a, b) \mapsto x \leq 0</math> si <math>a \leq b</math>.
 
Dans ce cas :
 
:'''1.''' Proposer une mise en équation de cet automate. Est-elle unique ?
:'''2.''' Quelle est l'évolution d'une suite décrite par cette équation ?
 
{{Solution}}
 
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