« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions

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#La courbe <math>C_2=\{(\sqrt[3]{y^2},y)\mid y\in\R\}</math> est une sous-variété topologique (localement homéomorphe à <math>\R\times\{0\}</math>) de <math>\R^2</math> mais pas une sous-variété différentiable, car <math>O=(0,0)</math> est un point de rebroussement donc le cône tangent (l'ensemble des vecteurs de la forme <math>\lim \frac{\overrightarrow{OM_n}}{t_n}</math> avec <math>M_n\to O</math> et <math>t_n\to0^+</math>, ou encore, de la forme <math>\gamma'_d(0)=\lim_{t\to0^+}\frac{\gamma(t)-\gamma(0)}t</math> pour <math>\gamma:\left[0,\varepsilon\right[\to C_2</math> telle que <math>\gamma(0)=O</math>) est une demi-droite et non une droite.
#Le cône <math>S_1</math> n'est pas une sous-variété (même topologique) de dimension 2 (de <math>\R^3</math>) car son sommet <math>O</math> est un point double : au voisinage de <math>O</math>, <math>S_1</math> privé de <math>O</math> a 2 composantes connexes, au lieu de 1.
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==Exercice 4==
On considère la sphère unité <math>S</math> de <math>\R^3</math> et un cylindre <math>C</math>, d'axe vertical et de rayon <math>r>0</math>. L'intersection de <math>S</math> et <math>C</math> définit-elle toujours une courbe lisse ? Retrouver cette observation par le calcul.
{{Solution|contenu=
Sans perte de généralité, l'axe du cylindre passe par un point de la forme <math>(a,0,0)</math> avec <math>a\ge0</math>.
 
La courbe <math>S\cap C</math> est alors le lieu d'annulation de <math>f:\R^3\to\R^2,\ (x,y,z)\mapsto(x^2+y^2+z^2-1,(x-a)^2+y^2-r^2)</math>.
 
La matrice <math>\mathrm Jf(x,y,z)=2\begin{pmatrix}x&y&z\\x-a&y&0\end{pmatrix}</math> est de rang 2 sauf si <math>yz=(x-a)z=ay=0</math>.
*Si <math>a=0</math>, cela n'est possible (sur <math>S\cap C</math>) que si <math>r=1</math> mais dans ce cas, <math>S\cap C</math> est quand même une courbe lisse (le cercle équatorial de <math>S</math>).
*Si <math>a\ne0</math>, cela n'est possible (sur <math>S\cap C</math>) que si <math>r\in\{1+a,1-a,a-1\}</math>.
**Si <math>r=a+1</math>, la sphère est tangente intérieurement au cylindre.
**Si <math>r=a-1</math>, c'est l'inverse.
**Si <math>r=1-a</math>, la courbe <math>S\cap C</math> est une hippopède (en forme de 8) donc elle a un point double et n'est pas une variété (pour <math>a=r=\frac12</math>, on retrouve la fenêtre de Viviani de l'exercice précédent).
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