« Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires » : différence entre les versions
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Ligne 120 :
Soient <math>u,v:I\to E</math> deux solutions de l'équation différentielle <math>x'=f\left(t,x\right)</math>. On suppose que <math>f</math> est <math>k</math>-lipschitzienne par rapport à sa seconde variable sur la réunion des graphes de <math>u</math> et <math>v</math>. Démontrer que <math>\forall s,t\in I\quad\left\|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right\|\le\left\|u\left(t\right)-v\left(t\right)\right\|\mathrm e^{k\left|s-t\right|}</math>.
On utilisera le lemme suivant, qui est un ''[[Intégration
pour tous <math>s,k\ge0</math> et <math>c\in\R</math>, si une fonction continue <math>g:\left[0,s\right]\to\R</math> vérifie <math>\forall r\in\left[0,s\right]\quad g\left(r\right)\le k\int_0^r\left(c+g\left(h\right)\right)\ \mathrm dh</math>, alors <math>g\left(s\right)\le c\left(\mathrm e^{ks}-1\right)</math>.
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