« Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Géométrie des nombres » : différence entre les versions

#Soit un nombre premier <math>p>2</math>. Il existe donc<ref>Cf. [[../Résidus quadratiques#Exercice 4-1|exercice 4-1]].</ref> des entiers <math>r,s</math> tels que <math>r^2+s^2\equiv-1\bmod p</math>.<br>En considérant le réseau <math>\Gamma:=A\left(\Z^4\right)</math> pour <math>A=\begin{pmatrix}p&0&r&s\\0&p&s&-r\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math> et la boule<ref>On rappelle que le [[w:Calcul du volume de l'hypersphère|volume de la boule unité en dimension ''n'']] est égal à <math>\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac n2+1\right)}</math> et que la [[Intégration (mathématiques)de Riemann/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling|fonction Gamma]] vérifie <math>\Gamma(n+1)=n!</math>.</ref> ouverte <math>C\subset\R^4</math> de centre <math>0</math> et de rayon <math>R=\sqrt{2p}</math>, démontrer que