« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions
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==Exercice 6==
On appelle groupe orthogonal l'ensemble <math>\mathrm O_n(\R)=\{M\in\mathrm M_n(\R)\mid{}^t\!MM=\mathrm I_n\}</math>.
Le but est de montrer que <math>\mathrm O_n(\R)</math> est une sous-variété de <math>\mathrm M_n(\R)</math>.
Soit <math>E</math> l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre <math>n</math> et <math>f:\mathrm M_n(\R)\to E</math> définie par <math>f(A)={}^t\!AA</math>.
#Montrer que <math>\mathrm D_Af(H)={}^t\!AH+{}^t\!HA</math>.
#Soit <math>A\in\mathrm O_n(\R)</math>, <math>S\in E</math> et <math>H=\frac12AS</math>. Montrer que <math>\mathrm D_Af(H)=S</math>. En déduire que <math>\mathrm O_n(\R)</math> est une sous-variété de <math>\mathrm M_n(\R)</math> de dimension <math>n(n-1)/2</math>, dont l'espace tangent en <math>\mathrm I_n</math> est <math>\{X \in\mathrm M_n(\R)\mid{}^t\!X=-X\}</math>.
{{Solution|contenu=}}
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\item $f$ est la composée de l'application produit $B:\mathrm M_n(\R)\times\mathrm M_n(\R)\to\mathrm M_n(\R)$ (bilinéaire) et de l'application $(\mathrm t,\mathrm{id})$ (linéaire) donc (cf. cous…) $\mathrm D_Af(H)=\mathrm DB_{({}^t\!A,A)}({}^t\!H,H)=B({}^t\!A,H)+B({}^t\!H,A)$.
\item $\mathrm D_Af(H)={}^t\!AH+{}^t\!HA={}^t\!A\frac12AS+{}^t\!(\frac12AS)A=\frac12{}^t\!AAS+\frac12{}^t\!S{}^t\!A A=\frac12S+\frac12{}^t\!S=S$. On en déduit que $\mathrm D_Af$ est surjective donc $\mathrm O_n(\R)=f^{-1}(\{\mathrm I_n\})$ est une sous-variété de $\mathrm M_n(\R)$, de dimension $\dim\mathrm M_n(\R)-\dim E=n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2$. L'espace tangent en $\mathrm I_n$ est $\ker(\mathrm D_{\mathrm I_n}f)=\{H\in\mathrm M_n(\R)\mid\transp H+H=0\}$.
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| idfaculté = mathématiques
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