« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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m Accéessibilité |
→Exercice 16 : +1 |
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Ligne 315 :
#Sous ces hypothèses, <math>\varepsilon(ru):=\frac{f(ru)}r=r^{m-1}f(u)</math> tend bien vers <math>0</math> quand <math>r\to0</math> (pour <math>u</math> variant arbitrairement sur la sphère unité).
#<math>f</math> et <math>g</math> sont homogènes de degré <math>1</math> et (par continuité sur un compact) bornées sur le cercle unité, mais non linéaires, donc continues mais non différentiables en <math>(0,0)</math>.<br>Quant à <math>h</math>, remarquons d'abord qu'elle est bien définie. En effet, pour tout <math>(x,y)\ne(0,0)</math>, <math>x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+3y^2/4>0</math>.<br><math>h</math> est homogène de degré <math>p+q-2</math> et bornée sur le cercle unité (comme <math>f</math> et <math>g</math>), mais n'est jamais constante ni linéaire (quels que soient <math>p</math> et <math>q</math>). D'après les questions précédentes, en <math>(0,0)</math>, elle est donc continue si et seulement si <math>p+q>2</math> et différentiable (de différentielle nulle) si et seulement si <math>p+q>3</math>.
}}
==Exercice 17==
Dans l'espace euclidien usuel <math>\R^n</math>, on considère l'[[w:Inversion (géométrie)|inversion]] <math>f</math>, de <math>\R^n\setminus\{0\}</math> dans lui-même, définie par
:<math>f(x)=\frac x{\|x\|^2}</math>.
Montrer que cette application est différentiable et calculer sa différentielle.
{{Solution|contenu=
(Cf. chap. 2, § Composition et § Opérations algébriques)
:<math>\mathrm df_x(h)=\frac{\mathrm{d\,id}_x(h)}{\|x\|^2}-x\frac{\mathrm d\langle\cdot,\cdot\rangle_{(x,x)}(h,h)}{\|x\|^4}=\frac h{\|x\|^2}-\frac{2\langle x,h\rangle}{\|x\|^4}x</math>.
}}
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