« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions

#<math>\psi:\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto g(y,x)</math> ;

#<math>h:\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto f(x+g(x,y))</math> ;

{{Solution|contenu=

#<math>\phi=g\circ L</math> avec <math>L:\R\to\R^2,\;x\mapsto(x,-x)</math> linéaire donc <math>\phi</math> est différentiable et <math>\mathrm d\phi_x=\mathrm d g_{L(x)}\circ\mathrm d L_x=\mathrm d g_{(x,-x)}\circ L</math>, c.-à-d.<br><math>\mathrm d\phi_x(u)=\mathrm d g_{(x,-x)}(u,-u)=\frac{\partial g}{\partial x}(x,-x)u+\frac{\partial g}{\partial y}(x,-x)(-u)</math> autrement dit : <math>\phi</math> est dérivable et <math>\phi'(x)=\frac{\partial g}{\partial x}(x,-x)-\frac{\partial g}{\partial y}(x,-x)</math>.

#<math>k=f\circ(q\times g)</math> avec <math>q:\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto xy^2</math> polynomiale. <math>\mathrm dq_{(x,y)}(u,v)=y^2u+2xyv</math>, donc <math>k</math> est différentiable et<br><math>\mathrm dk_{(x,y)}=f'(xy^2g(x,y))\times(g(x,y)\mathrm dq_{(x,y)}+q(x,y)\mathrm dg_{(x,y)})</math>, c.-à-d.<br><math>\begin{align}\mathrm d k_{(x,y)}(u,v)&=f'(x+g(x,y))\left[\left(g(x,y)y^2+xy^2\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\right)u+\left(g(x,y)2xy+xy^2\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)\right)v\right]

\end{align}</math>.

}}