« Intégrale double/Intégration de fonctions positives » : différence entre les versions

Soit <math>f: I \times J \rightarrow to\R_+</math> continue sur <math>P = I \times J</math> (avec <math>\textstyle \stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\textstyle \stackrel{\circ}{J}</math> non vides). On dit que <math>f</math> est '''intégrable''' sur <math>P</math> si <math>\textstyle K_p = \left\{ \iint_{K} f, K \subset P \right\}</math> est majoré, auquel cas :

Une définition équivalente peut être apportée à l'aide d'une suite exhaustive de pavés compacts dans <math>I \times J</math>.

Soit <math>f: I \times J \rightarrow \R_+</math> continue, et <math>(K_n)_{n \in \N}</math> une suite exhaustive de pavés compacts dans <math>P = I \times J</math>. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

* <math>f</math> est intégrable sur <math>I \times J</math> ;

* la suite <math>\left( \iint_{K_n} f\right)</math> est majorée ;

Auquel cas <math>\lim_{n \rightarrow to\infty} \iint_{K_n} f= \iint_P f</math>.

LesLa propriétéspropriété de '''linéaritéslinéarité''' sont(restreinte ici aux coefficients positifs) est, comme précédemment, vérifiéesvérifiée.

Dans le cadre de fonctions positives, on a alorsaussi une propriété de '''comparaison''' :

:<math>\forall (f,g) \in \mathcal{C}(KP, \R) \ (0 \le f \le g) \Rightarrow (0 \le \iint_Kiint_P f \le \iint_Kiint_P g)</math>.