« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions
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→Exercice 5 : +1 question |
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Ligne 87 :
#<math>f</math> est la composée de l'application produit <math>B:\mathrm M_n(\R)\times\mathrm M_n(\R)\to\mathrm M_n(\R)</math> (bilinéaire) et de l'application <math>({}^t\!\cdot,\mathrm{id})</math> (linéaire) donc (cf. [[../../Différentiabilité#Propriétés et définition|chap. 2]]) <math>\mathrm D_Af(H)=\mathrm DB_{({}^t\!A,A)}({}^t\!H,H)=B({}^t\!A,H)+B({}^t\!H,A)</math>.
#<math>\mathrm D_Af(H)={}^t\!AH+{}^t\!HA={}^t\!A\frac12AS+{}^t\!(\frac12AS)A=\frac12{}^t\!AAS+\frac12{}^t\!S{}^t\!AA=\frac12S+\frac12{}^t\!S=S</math>. On en déduit que <math>\mathrm D_Af</math> est surjective donc <math>\mathrm O_n(\R)=f^{-1}(\{\mathrm I_n\})</math> est une sous-variété de <math>\mathrm M_n(\R)</math>, de dimension <math>\dim\mathrm M_n(\R)-\dim E=n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2</math>. L'espace tangent en <math>\mathrm I_n</math> est <math>\ker(\mathrm D_{\mathrm I_n}f)=\{H\in\mathrm M_n(\R)\mid{}^t\!H+H=0\}</math>.
}}
==Exercice 7==
#Montrer que l'ensemble <math>S:=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2=2(x+y+z-1)\}</math> est une sphère, dont on déterminera le centre et le rayon.
#Déterminer l'équation du plan tangent à <math>S</math> en un point <math>(x_0,y_0,z_0)\in S</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>x^2+y^2+z^2=2(x+y+z-1)\Longleftrightarrow(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1^2</math><br>donc <math>S</math> est la sphère de centre <math>(1,1,1)</math> et de rayon <math>1</math>.
#En un point <math>(x_0,y_0,z_0)</math>, un vecteur normal à cette surface d'équation <math>f(x,y,z)=0</math> est <math>\operatorname{grad}f=2(x_0,y_0,z_0)</math> (c'était d'ailleurs évident géométriquement) donc<br>le plan tangent a pour équation <math>x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)+z_0(z-z_0)=0</math><br>(ce qui, compte tenu du fait que <math>(x_0,y_0,z_0)\in S</math>, équivaut à <math>x_0x+y_0y+z_0z=2(x_0+y_0+z_0-1)</math>).
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