« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions
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→Exercice 9 : +1 (dans R^2 mais tant pis) |
→Exercice 1 : Question préliminaire, pour commencer en douceur |
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Ligne 9 :
==Exercice 1==
Calculer l'équation du plan tangent au [[w:Quadrique|cône à base elliptique]] <math>\Sigma</math> d'équation <math>xy=z^2</math>, en un point arbitraire <math>M_0=(x_0,y_0,z_0)\ne(0,0,0)</math> de <math>\Sigma</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\Sigma</math> a pour équation <math>f=0</math> où <math>f</math> est définie par <math>f\left(x,y,z\right)=xy-z^2</math>.
Le plan tangent <math>T_{M_0}\Sigma</math> est le plan contenant <math>M_0</math> et normal au vecteur gradient <math>\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)=\left(y_0,x_0,-2z_0\right)</math> (non nul par hypothèse).
Il a donc pour équation <math>(x-x_0)y_0+(y-y_0)x_0-2(z-z_0)z_0=0</math>, soit <math>y_0x+x_0y-2z_0z=0</math>.
}}
#Déterminer les points de la surface <math>S</math> d'équation <math>xy=z^3</math> dont le plan tangent contient la droite d'équations <math>x=2,\;y-3z+3=0</math>.
#En tout point <math>M_0=\left(x_0,y_0,z_0\right)\in S</math> tel que <math>x_0y_0\ne0</math>, déterminer la position de la surface par rapport à son plan tangent.
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