« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

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:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan x \,\mathrm dx</math>.
 
== Définitions et premières propriétés ==
=== Définition ===
On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul « problème » est sur la borne <math>b</math> (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :
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}}
 
=== Premières propriétés ===
Lorsqu’il y a un problème sur les deux bornes, on utilise la relation de Chasles sur les intégrales généralisées '''convergentes''' :
 
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Comme dans le premier exemple [[#Définition|ci-dessus]], il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale <math>\int_a^bf(t)\,\mathrm dt</math> impropre en <math>b</math>, d'expliciter la fonction <math>x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon [[Intégration en mathématiques]] et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand <math>x</math> tend vers <math>b</math>.
 
=== Exemple de Riemann ===
Le premier exemple de référence '''à connaître''' est :
 
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}}
 
== Convergence absolue et théorème de comparaison ==
 
=== Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées ===
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Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue :
 
=== Convergence absolue ===
 
{{Définition
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{{Démonstration déroulante|contenu =Soit <math>f</math> continue par morceaux sur <math>\left[a,b\right[</math> et soit <math>F:x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> <math></math>.
 
[[Intégration (mathématiques)../Propriétés de l'intégrale|On sait]] que
:<math>a\le x\le y<b\Rightarrow\left|F(y)-F(x)\right|\le\int_x^y|f(t)|\,\mathrm dt</math>.
Le [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|critère de Cauchy pour une fonction]] permet de conclure.}}