« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions
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Ligne 143 :
##On pose <math>\Theta_f(x,y) = x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math> et <math>\Psi_f(x,y)=-y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+x\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>. Exprimer <math>\Theta_f\circ\phi</math> et <math>\Psi_f\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math> (autrement dit : exprimer en coordonnées polaires les [[w:Opérateur différentiel|opérateurs différentiels]] <math>\Theta</math> et <math>\Psi</math>).
##Plus généralement, exprimer <math>\frac{\partial f}{\partial x}\circ\phi</math> et <math>\frac{\partial f}{\partial y}\circ\phi</math> à l'aide des dérivées partielles de <math>f\circ\phi</math>.
##Exprimer de même le « [[Analyse vectorielle/Laplacien|laplacien]] en coordonnées polaires », c'est-à-dire <math>(\Delta f)\circ\phi</math>, où <math>\Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}</math>, à l'aide des dérivées partielles premières et secondes de <math>f\circ\phi</math>.
#Trouver toutes les fonctions différentiables <math>f:\R^2\setminus\{(0,0)\}\to\R</math> vérifiant : <math>\Theta_f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}</math> et admettant une limite en <math>(0,0)</math>.
{{Solution|contenu=
#En développant <math>\operatorname J_{f\circ\phi}(s,t)=(J_f)_{\phi(s,t)}\times(J_\phi)_{(s,t)}</math>, on trouve :<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial s}(s,t)=\frac{\partial f}{\partial x}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_1}{\partial s}(s,t)+\frac{\partial f}{\partial y}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_2}{\partial s}(s,t)</math> et<br><math>\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial t}(s,t)=\frac{\partial f}{\partial x}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_1}{\partial t}(s,t)+\frac{\partial f}{\partial y}(\phi(s,t))\frac{\partial\phi_2}{\partial t}(s,t)</math>.
Ligne 192 ⟶ 193 :
(\Delta f)\circ\phi(r,\theta)=\frac{\partial^2(f\circ\phi)}{\partial r^2}(r,\theta)+\frac1r\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)
+\frac1{r^2}\frac{\partial^2(f\circ\phi)}{\partial\theta^2}(r,\theta)</math>.
#<math>r\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}(r,\theta)=r\Leftrightarrow\frac{\partial(f\circ\phi)}{\partial r}=1\Leftrightarrow f\circ\phi(r,\theta)=r+g(\theta)\Leftrightarrow f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+g(\arg(x+\mathrm iy))</math>,<br>où <math>g</math> est une fonction différentiable <math>2\pi</math>-périodique, et f admet une limite en <math>(0,0)</math> si et seulement si <math>g</math> est constante.
}}
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