« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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Ligne 14 :
#<math>\iint_{x,y\ge0\atop x^2,y^2\le1-z}\mathrm dx\,\mathrm dy=1-z</math> et <math>\int_0^1z\left(1-z\right)\,\mathrm dz=\frac12-\frac13=\frac16</math>.
#<math>\int_0^{1-x-y}\frac{\mathrm dz}{(1+x+y+z)^3}=-\frac12\left[\frac1{(1+x+y+z)^2}\right]_0^{1-x-y}=-\frac12\left(\frac1{2^2}-\frac1{(1+x+y)^2}\right)</math> ;<br><math>-\frac12\int_0^{1-x}\left(\frac1{2^2}-\frac1{(1+x+y)^2}\right)\,\mathrm dy=-\frac12\left[\frac y4+\frac1{1+x+y}\right]_0^{1-x}=-\frac12\left(\frac {1-x}4+\frac12-\frac1{1+x}\right)=\frac{x-3}8+\frac1{2(1+x)}</math> ;<br><math>\int_0^1\left(\frac{x-3}8+\frac1{2(1+x)}\right)\,\mathrm dx=\left[\frac{x^2-6x}{16}+\frac{\ln(1+x)}2\right]_0^1=-\frac5{16}+\frac{\ln2}2</math>.
}}
==Exercice 2-2==
Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d'axes <math>(Ox)</math> et <math>(Oy)</math> et de même rayon <math>R>0</math> ?
{{Solution|contenu=
:<math>\iint{|x|,|y|\le\sqrt{R^2-z^2}}\mathrm dx\,\mathrm dy=4(R^2-z^2)</math>
donc
:<math>V=4\int_{-R}^R(R^2-z^2)\,\mathrm dz=4\left[R^2z-\frac{z^3}3\right]_{-R}^R=\frac{16R^3}3</math>.
Autre méthode :
:<math>V=\iiint_{y^2+z^2\le R^2\atop x^2+z^2\le R^2}\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\iint_{[-R,R]^2}\left(\int_{z^2\le\min(R^2-x^2,R^2-y^2)}\mathrm dz\right)\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint_{[-R,R]^2}2\sqrt{R^2-\max(|x|,|y|)^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>.
En découpant ce carré suivant les diagonales, on obtient la même intégrale sur chacun des quatre triangles. Donc
:<math>V=8\iint_{-x\le y\le x\le R}\sqrt{R^2-x^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=8\int_0^R2x\sqrt{R^2-x^2}\,\mathrm dx=8\int_0^{R^2}\sqrt{t}\,\mathrm dt=8\left[\frac{t^{3/2}}{3/2}\right]_0^{R^2}=\frac{16R^3}3</math>.
}}
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