« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions

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#<math>\pi\int_{-a}^ab^2\sin^2(cx)\,\mathrm dx=\pi b^2\int_{-a}^a\frac{1-\cos(2cx)}2\,\mathrm dx=\pi b^2\left(a-\frac{\sin(2ca)}{2c}\right)</math>.
#Dans le plan <math>(xOy)</math>, le cercle a pour équation <math>x^2+(y-R)^2=a^2</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>y=R\pm\sqrt{a^2-x^2}</math>, donc le disque : <math>R-\sqrt{a^2-x^2}\le|y|\le R+\sqrt{a^2-x^2}</math> et le tore : <math>R-\sqrt{a^2-x^2}\le\sqrt{y^2+z^2}\le R+\sqrt{a^2-x^2}</math>. D'après la question 1, le volume du tore est donc :<br><math>\pi\int_{-a}^a\left(\left(R+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(R-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2\right)\,\mathrm dx=4\pi R\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx=2\pi R\iint_{x^2+y^2\le a^2}\mathrm dx\,\mathrm dy=2\pi^2 Ra^2</math>.
}}
 
==Exercice 2-4==
Calculer le volume de l'ellipsoïde :
:<math>\left\{(x,y,z)\in\R^3\mid\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le1\right\}</math> (avec <math>a,b,c>0</math>).
{{Solution|contenu=
En posant <math>x=ar\cos\theta\cos\varphi</math>, <math>y=br\sin\theta\cos\varphi</math> et <math>z=cr\sin\varphi</math>, on trouve comme volume :
<math>\iiint_{[0,1]\times[0,2\pi]\times[-\pi/2,\pi/2]}abcr^2\cos\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi=2\pi abc\int_0^1r^2\,\mathrm dr\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi\,\mathrm d\varphi=2\pi abc\times\frac13\times2=\frac43\pi abc</math>.
 
En particulier, le volume d'une sphère de rayon <math>R</math> est <math>\frac43\pi R^3</math>.
}}