« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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Ligne 10 :
Calculer :
#<math>\iiint_Dz\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in(\R_+)^3\mid z\le\min(1-x^2,1-y^2)\}</math> ;
#<math>\iiint_D
#<math>\iiint_D\frac{\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}{(1+x+y+z)^3}</math> où, à nouveau, <math>D=\{(x,y,z)\in(\R_+)^3\mid x+y+z\le1\}</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\iint_{x,y\ge0\atop x^2,y^2\le1-z}\mathrm dx\,\mathrm dy=1-z</math> et <math>\int_0^1z\left(1-z\right)\,\mathrm dz=\frac12-\frac13=\frac16</math>.
#<math>\int_0^{1-x}\left(1-x-y\right)\,\mathrm dy=(1-x)^2-\frac{(1-x)^2}2=\frac{(1-x)^2}2</math> et <math>\int_0^1\frac{(1-x)^2}2\,\mathrm dx=\int_0^1\frac{t^2}2\,\mathrm dt=\frac16</math>.
#<math>\int_0^{1-x-y}\frac{\mathrm dz}{(1+x+y+z)^3}=-\frac12\left[\frac1{(1+x+y+z)^2}\right]_0^{1-x-y}=-\frac12\left(\frac1{2^2}-\frac1{(1+x+y)^2}\right)</math> ;<br><math>-\frac12\int_0^{1-x}\left(\frac1{2^2}-\frac1{(1+x+y)^2}\right)\,\mathrm dy=-\frac12\left[\frac y4+\frac1{1+x+y}\right]_0^{1-x}=-\frac12\left(\frac {1-x}4+\frac12-\frac1{1+x}\right)=\frac{x-3}8+\frac1{2(1+x)}</math> ;<br><math>\int_0^1\left(\frac{x-3}8+\frac1{2(1+x)}\right)\,\mathrm dx=\left[\frac{x^2-6x}{16}+\frac{\ln(1+x)}2\right]_0^1=-\frac5{16}+\frac{\ln2}2</math>.
}}
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