« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions

#Calculer le volume du cône <math>\left\{(x,y,z)\in[0,h]\times\R^2\mid y^2+z^2\le x^2/h^2\right\}</math> avec <math>h>0</math>.

#Calculer le volume du solide en dessous du cône <math>z=\sqrt{x^2+y^2}</math> et au-dessus de la couronne <math>z=0</math> et <math>4\le x^2+y^2\le25</math>.

{{Solution|contenu=

#<math>\int_a^b\left(\iint_{\sqrt{y^2+z^2}\le f(x)}\mathrm dy\,\mathrm dz\right)\mathrm dx=\int_a^b\pi f^2(x)\,\mathrm dx</math>.

#D'après la question 1, le volume de ce cône est <math>\pi\int_0^hx^2/h^2\,\mathrm dx=\frac\pi{h^2}\frac{h^3}3=\frac{\pi h}3</math>.

#D'après la question 1 (en permutant les variables), le volume de ce solide (cylindre biseauté) est<br><math>\pi\int_0^2(25-4)\,\mathrm dz+\pi\int_2^5(25-z^2)\,\mathrm dz=\pi\left(25\times5-4\times2-\frac{5^3-2^3}3\right)=2\pi\frac{5^3-2^3}3=\frac{234\pi}3</math>.<br>Autre méthode :<br><math>\iint_{4\le x^2+y^2\le25}\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_{[2,5]\times[0,2\pi]}r^2\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=\frac{5^3-2^3}3\times2\pi=\frac{234\pi}3</math>.

}}