« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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→Exercice 2-1 : +1 question(+sol) |
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Ligne 9 :
==Exercice 2-1==
Calculer :
#<math>\iiint_Dz\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in\R^2\times[0,h]\mid x^2+y^2\le1\}</math> ;
#<math>\iiint_Dz\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in(\R_+)^3\mid z\le\min(1-x^2,1-y^2)\}</math> ;
#<math>\iiint_D\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in(\R_+)^3\mid x+y+z\le1\}</math>.
#<math>\iiint_D\frac{\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}{(1+x+y+z)^3}</math> où, à nouveau, <math>D=\{(x,y,z)\in(\R_+)^3\mid x+y+z\le1\}</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\iint_{x^2+y^2\le1}\mathrm dx\,\mathrm dy\times\int_0^hz\,\mathrm dz=\pi\frac{h^2}2</math>.
#<math>\iint_{x,y\ge0\atop x^2,y^2\le1-z}\mathrm dx\,\mathrm dy=1-z</math> et <math>\int_0^1z\left(1-z\right)\,\mathrm dz=\frac12-\frac13=\frac16</math>.
#<math>\int_0^{1-x}\left(1-x-y\right)\,\mathrm dy=(1-x)^2-\frac{(1-x)^2}2=\frac{(1-x)^2}2</math> et <math>\int_0^1\frac{(1-x)^2}2\,\mathrm dx=\int_0^1\frac{t^2}2\,\mathrm dt=\frac16</math>.
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