« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions

#Calculer le volume de l'ellipsoïde :<math>\left\{(x,y,z)\in\R^3\mid\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le1\right\}</math> (avec <math>a,b,c>0</math>).

:#Calculer <math>\left\iiint_{(x,y,z)1\in\R^3\mid\frac{le x^2}{a+y^2}+\frac{yz^2\le4}{b(x^2+y^2}+\frac{z^2}{c)^2}\le1alpha\right,\}</math>mathrm (avecdx\,\mathrm <math>ady\,b,c>0\mathrm dz</math>).

En posant <math>x=ar\cos\theta\cos\varphi</math>, <math>y=br\sin\theta\cos\varphi</math> et <math>z=cr\sin\varphi</math>, on trouve comme volume :

#<math>\iiint_{[0,1]\times[0,2\pi]\times[-\pi/2,\pi/2]}abcrabc\,r^2\cos\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi=2\pi abc\int_0^1r^2\,\mathrm dr\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi\,\mathrm d\varphi=2\pi abc\times\frac13\times2=\frac43\pi abc</math>.<br>En particulier, le volume d'une sphère de rayon <math>R</math> est <math>\frac43\pi R^3</math>.