« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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→Exercice 2-4 : +1 question (+sol) |
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Ligne 55 :
#Calculer le volume de l'ellipsoïde <math>\left\{(x,y,z)\in\R^3\mid\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le1\right\}</math> (avec <math>a,b,c>0</math>).
#Calculer <math>\iiint_{1\le x^2+y^2+z^2\le4}(x^2+y^2+z^2)^\alpha\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>.
#Calculer le volume de <math>\left\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2\le1,\;0\le z\le1-x^2+y^2\right\}</math>.
{{Solution|contenu=
En posant <math>x=ar\cos\theta\cos\varphi</math>, <math>y=br\sin\theta\cos\varphi</math> et <math>z=cr\sin\varphi</math>, on trouve :
#<math>\iiint_{[0,1]\times[0,2\pi]\times[-\pi/2,\pi/2]}abc\,r^2\cos\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi=2\pi abc\int_0^1r^2\,\mathrm dr\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi\,\mathrm d\varphi=2\pi abc\times\frac13\times2=\frac43\pi abc</math>.<br>En particulier, le volume d'une sphère de rayon <math>R</math> est <math>\frac43\pi R^3</math>.
#<math>\iiint_{[1,2]\times[0,2\pi]\times[-\pi/2,\pi/2]}r^{2\alpha+2}\cos\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi=2\pi\int_1^2r^{2\alpha+2}\,\mathrm dr\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi\,\mathrm d\varphi=\begin{cases}4\pi\frac{2^{2\alpha+3}-1}{2\alpha+3}&\text{si }\alpha\ne-\frac32\\4\pi\ln2&\text{si }\alpha=-\frac32\end{cases}</math>.
#<math>\iiint_{0\le r\le1\atop0\le\theta\le2\pi}\left(1-r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\right)r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=2\pi\left[\frac{r^2}2\right]_0^1-\left[\frac{r^4}4\right]_0^1\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,\mathrm d\theta+\left[\frac{r^4}4\right]_0^1\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,\mathrm d\theta=2\pi\left[\frac{r^2}2\right]_0^1=\pi</math>.
}}
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