« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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Le min était mal défini, en mettant un sup c'est mieux ! |
Ce résultat est faux, pour s'en convaincre poser X = R, d la distance usuelle ; si d et inf(d,1) sont équivalentes il existe c > 0 tel que pour tout entier n > 0, nc = cd(n,0) <= c min[d(n,0),1] = min(n,1) = 1 ce qui est absurde. |
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Ligne 137 :
*sur <math>\prod_{k\in\N}E_k</math>, en posant <math>d'_k=\inf(d_k,1)</math> (<math>\forall k\in\N</math>) puis<div style="text-align: center;"><math>d(x,y):=\sup_{k\in\N}\frac{d'_k(x_k,y_k)}{2^k}</math>.</div>
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Le fait que <math>d</math> est une distance dans les deux cas, et que dans le premier cas elle définit bien la topologie du produit fini, est laissé en exercice. Montrons seulement que dans le second cas, la topologie associée à la distance <math>d</math> coïncide avec la topologie du produit dénombrable. Remarquons d'abord que pour tout <math>k\in\N</math>, <math>d'_k</math> est une [[w:Équivalence des distances|distance équivalente]] à <math>d_k</math> ##FAUX SUR R MUNI DE LA TOPOLOGIE USUELLE##, puis vérifions que chacune des deux topologies sur ∏{{ind|''k''∈ℕ}}''E{{ind|k}}'' est incluse dans l'autre :
*Tout ouvert de la prébase canonique du produit est, pour ''d'', ouvert (c'est-à-dire voisinage de chacun de ses points) : un ouvert de la prébase est de la forme ''U '' = ∏{{ind|''k''∈ℕ}}''U{{ind|k}}'' où tous les ''U{{ind|k}}'' sont égaux aux ''E{{ind|k}}'', sauf l'un d'entre eux, ''U{{ind|n}}'', qui est seulement un ouvert de ''E{{ind|n}}''. Soit ''a'' un point de ''U'', alors ''a{{ind|n}}'' appartient à ''U{{ind|n}}'' donc pour ''r'' assez petit, la ''d'{{ind|n}}''-boule de centre ''a{{ind|n}}'' et de rayon ''r'' est incluse dans ''U{{ind|n}}''. Ainsi, ''U'' est un voisinage de ''a'' pour ''d'' car il contient la ''d''-boule de centre ''a'' et de rayon 2{{exp|–''n''}}''r''.
*Tout ouvert ''O'' pour ''d'' est ouvert pour la topologie produit : soit ''a'' un point de ''O''. Il existe ''r'' > 0 tel que la boule ''B''(''a'', ''r'') soit incluse dans ''O'', puis ''n'' tel que 2{{exp|–''n''}} < ''r''. Posons ''U'' = ∏{{ind|''k''∈ℕ}}''U{{ind|k}}'' avec ''U{{ind|k}} = B{{ind|d'{{ind|k}}}}''(''a{{ind|k}}'', 2''{{exp|k}}r'') pour 0 ≤ ''k ''≤ ''n'' et ''U{{ind|k}} = E{{ind|k}}'' pour ''k > n''. Alors, pour la topologie produit, ''U'' est un voisinage de ''a'' inclus dans ''B''(''a'', ''r''), donc ''O'' est un voisinage de ''a''.
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