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== Somme des termes d'une suite géométrique ==
{{Théorème
|contenu = La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique <math>( v_nu_n)</math> de raison <math>q</math> du rang <math>i</math> au rang <math>j</math> s'exprime par : ▼ | contenu=
<div style="text-align: center;"><math> v_iu_i+ v_u_{i+1}+\cdots+ v_ju_j=\begin{cases} v_iu_i\times \frac{1-q^ {j-i+1}k}{1-q} &\text{lorsque } q\ne 1\\ v_iu_i \times (j-i+1)k &\text{lorsque } q=1\end{cases} </math></div> ▼La somme des <math>n+1</math> premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :
où <math>k=j-i+1</math> est le nombre de termes de la somme.
<div style="text-align: center;"><math>u_0 + u_1+\cdots + u_n =\begin{cases}u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q} &\text{lorsque }q\ne 1\\u_0\times (n+1) &\text{lorsque } q=1\end{cases}</math></div>
}}
Plus généralement :
{{Théorème
|titre = Formule générale
▲ |contenu = La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique <math>(v_n)</math> de raison <math>q</math> du rang <math>i</math> au rang <math>j</math> s'exprime par :
▲<div style="text-align: center;"><math>v_i+v_{i+1}+\cdots+v_j=\begin{cases}v_i\times \frac{1-q^{j-i+1}}{1-q} &\text{lorsque } q\ne 1\\v_i \times (j-i+1) &\text{lorsque } q=1\end{cases} </math></div>
}}
{{démonstration déroulante
| contenu =
Soit <math>S_nS:=u_0 u_i+ u_1u_{i+1}+\cdots + u_nu_j</math> la première somme à calculer. On écrit
:<math>S_nS=u_0u_i+u_0qu_iq+\dots+u_0qu_iq^n{j-i}</math>
; Si <math>q\ne 1</math>, alors on multiplie les deux membres de l'égalité par <math>1-q</math> :
: <math>\begin{align}
(1-q)S_nS&=(1-q)(u_0u_i+u_0q+u_0q^2u_iq+\cdotsdots+u_0qu_iq^n{j-i})\\
&=u_0u_i+u_0q+u_0q^2u_iq+\cdotsdots+u_0qu_iq^{nj-i}\\
&{\color{White}{}=u_0u_i}-u_0q-u_0q^2u_iq-\cdotsdots-u_0qu_iq^n{j-u_0qi}-u_iq^{nj-i+1}\\
&=u_0u_i-u_0qu_iq^{nj-i+1}\\
&=u_0u_i(1-q^{n+1}k)
\end{align}</math>
(c'est une [[w:Somme télescopique|somme télescopique]]).
Finalement, on trouve :
:<math>S=u_0u_i\cfrac{1-q^{n+1}k}{1-q}.</math>.
; Si <math>q= 1</math>, alors on a simplement :
: <math>\begin{aligned}S_n&S=u_0u_i+u_0qu_i+\dots+u_0q^nu_i</math> (<math>k</math> fois)
\\&=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_0
\\&=u_0 \times \sum_{k=0}^n 1
\\&=u_0 \times (n+1)
\end{aligned}
</math>
On trouve donc :
:<math>S=u_0 \times (n+1).u_ik</math>.
La seconde somme se calcule de même, ou se déduit de la première en posant (pour <math>k</math> de <math>0</math> à <math>n:=j-i</math>) <math>u_k:=v_{i+k}</math>.
}}
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