« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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==Exercice 2-1==
Calculer les volumes de <math>B=\{(x,y,z)\in[0,2]\times[0,1]\times\R\mid 0\le z\le x+y^2\}</math> et <math>B'=\{(x,y,z)\in[0,2]\times[0,1]\times\R\mid 0\le z\le x\}</math>.
{{Solution|contenu=
<math>V=\int_0^2\left(\int_0^1(x+y^2)\;\mathrm dy\right)\;\mathrm dx=\int_0^2\left(x+\frac13\right)\;\mathrm dx=\frac83</math>
<math>V'=\int_0^2x\;\mathrm dx=2</math> (<math><V</math>, bien sûr).
}}
==Exercice 2-2==
Calculer :
#<math>\iiint_Dz\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> où <math>D=\{(x,y,z)\in\R^2\times[0,h]\mid x^2+y^2\le1\}</math> ;
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}}
==Exercice 2-
Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d'axes <math>(Ox)</math> et <math>(Oy)</math> et de même rayon <math>R>0</math> ?
{{Solution|contenu=
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}}
==Exercice 2-
#Soit <math>f:[a,b]\to\R_+</math> une fonction continue, et <math>\Omega_f</math> le solide délimité par la rotation du graphe de <math>f</math> autour de l'axe <math>(Ox)</math> :<br><math>\Omega_f=\{(x,y,z)\in[a,b]\times\R^2\mid\sqrt{y^2+z^2}\le f(x)\}</math>.<br>Montrer que le volume de <math>\Omega_f</math> est égal à <math>\pi\int_a^bf^2(x)\,\mathrm dx</math>.
#Calculer le volume du « tonneau » <math>\Omega_{a,b,c}:=\{(x,y,z)\in[-a,a]\times\R^2\mid\sqrt{y^2+z^2}\le b\sin(cx)\}</math>, où <math>b>0</math> et <math>0<a<\frac{c\pi}2</math>.
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}}
==Exercice 2-
#Calculer le volume de l'ellipsoïde <math>\left\{(x,y,z)\in\R^3\mid\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le1\right\}</math> (avec <math>a,b,c>0</math>).
#Calculer <math>\iiint_{1\le x^2+y^2+z^2\le4}(x^2+y^2+z^2)^\alpha\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>.
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