« Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers » : différence entre les versions

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#L'application <math>\left(P,Q\right)\mapsto\langle P,Q\rangle:=\int_a^bPQf</math> est un produit scalaire sur <math>\R[X]</math>. En appliquant à la base canonique <math>\left(X^n\right)_{n\in\N}</math> l'[[w:Algorithme de Gram-Schmidt|algorithme de Gram-Schmidt]], on obtient une base <math>(P_n)</math> de <math>\R[X]</math> orthonormée pour ce produit scalaire.
#Soit ''m'' ≤ ''n'' le nombre des points de <math>\left]a,b\right[</math> où ''P<sub>n</sub>'' change de signe ; notons <math>x_1,\dots,x_m</math> ces points (ce sont les racines de ''P<sub>n</sub>'' d'ordre impair appartenant à <math>\left]a,b\right[</math>). On va montrer que ''m'' = ''n''. Soit <math>S(X)=\prod_{j=1}^m\left(X-x_j\right)</math> ; ce polynôme de degré ''m'' change de signe en chaque point ''x<sub>j</sub>'' ; le polynôme ''SP<sub>n</sub>'' est donc strictement positif, ou strictement négatif, partout sur <math>\left]a,b\right[</math> sauf aux points ''x<sub>j</sub>'', et il en est donc de même du produit <math>SP_nf</math>. Ainsi, le réel <math>\langle S, P_n\rangle</math> — l'intégrale de ce produit — est non nul. Mais par construction, ''P<sub>n</sub>'' est orthogonal à tous les polynômes de degré inférieur, donc le degré de ''S'' doit être ''n''.
}}
 
== Exercice 5-4==
Soient <math>E</math> l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] dans <math>\R</math> de classe C{{exp|1}} et <math>N</math> l'application définie sur <math>E</math> par :
:<math>\forall f\in E\quad N(f)=\left(f^2(0)+\int_0^1 (f'(t))^2\,\mathrm dt\right)^{1/2}</math>.
Montrer que <math>N</math> est une norme euclidienne sur <math>E</math> et déterminer le produit scalaire auquel elle est associée.
{{Solution|contenu=
On a évidemment <math>N(f)>0</math> pour toute fonction <math>f\in E</math> non nulle, et <math>N(f)^2=B(f,f)</math>, où <math>B</math> est le produit scalaire défini par
:<math>\forall(f,g)\in E^2~~B(f,g)=f(0)g(0)+\int_0^1f'(t)g'(t)\,\mathrm dt</math>.
}}