« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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m →Exercice 2-1 : précision |
→Exercice 2-1 : +1 question (et sa rép + LI) |
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Ligne 15 :
#Pour <math>\|\cdot\|_\infty</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=2</math> car <math>\max(|x+y|,|x-y|)\le|x|+|y|\le2\max(|x|,|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>(x,y)=(1,1)</math>.
#Pour <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=2</math> car <math>|x+y|+|x-y|\le|x|+|y|+|x|+|y|=2(|x|+|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>(x,y)=(1,0)</math>.
}}
On considère la matrice <math>A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}</math>. Calculer la norme d'opérateur de <math>A</math> lorsqu'on prend sur <math>\R^2</math> la norme <math>\|\cdot\|_1</math>, puis la norme <math>\|\cdot\|_\infty</math>.
{{Solution|contenu=
#Pour <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>|\!|\!|A|\!|\!|=6</math> car <math>|x+2y|+|3x+4y|\le|x|+2|y|+3|x|+4|y|\le6(|x|+|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>(x,y)=(0,1)</math>.
#Pour <math>\|\cdot\|_\infty</math>, <math>|\!|\!|A|\!|\!|=7</math> car <math>\max(|x+2y|,|3x+4y|)\le3|x|+4|y|\le7\max(|x|,|y|)</math>, avec égalité par exemple pour <math>x=y=1</math>.
Pour un énoncé général, voir la proposition dans [[Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices#Norme subordonnée]].
}}
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