« Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq » : différence entre les versions
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→Exercice 1 : idem |
→Exercice 16 : +1 |
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Ligne 302 :
#<math>\operatorname{grad}(f)(u,v,w)=(2u,-2,-1)</math> et <math>\mathrm J_h(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\y&x\\2x&2y\end{pmatrix}</math>.
#<math>(f\circ h)(x,y)=(x+y)^2-2xy-(x^2+y^2)=0</math> donc <math>\operatorname{grad}(f\circ h)(x,y)=(0,0)</math>. Ou encore (en assimilant les gradients à des matrices lignes) : <math>\operatorname{grad}(f\circ h)(x,y)=\operatorname{grad}(f)(u,v,w)\mathrm J_h(x,y)=\begin{pmatrix}2u&-2&-1\end{pmatrix}\mathrm J_h(x,y)=\begin{pmatrix}2(x+y)&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\y&x\\2x&2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}</math>.
}}
==Exercice 17==
Soient <math>I\subset\R</math> un intervalle ouvert et <math>f:I\to\R</math> une fonction de classe C{{exp|1}}. On définit <math>g:I^2\to\R</math> par
:<math>g(x,y)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}&\text{si }x\ne y\\f'(x)&\text{si }y=x.\end{cases}</math>
Démontrer que <math>g</math> est continue.
{{Solution|contenu=
D'après le théorème des accroissements finis, pour tout <math>(x,y)\in I^2</math> tel que <math>x<y</math>, il existe <math>c_{x,y}\in\left]x,y\right[</math> tel que <math>g(x,y)=g(y,x)=f'(c_{x,y})</math>. Par continuité de <math>f'</math>, on en déduit que <math>g</math> est continue en tout point <math>(a,a)</math> de la diagonale de <math>I\times I</math>. Comme elle est évidemment continue hors de cette diagonale, elle est bien continue partout.
}}
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