« Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C » : différence entre les versions
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== Exercice 6==
Décrire géométriquement les 7 ensembles suivants de <math>\R^2</math> et dire s'il s'agit d'une partie ouverte, fermée, les deux, ou ni l'un ni l'autre. On utilisera la définition uniquement, à partir des boules ouvertes pour la distance euclidienne.
#<math>\{(x,y)\in\R^2\mid|x|\ne1,|y|\ne1\}</math>.
#<math>\{(x,y)\in\R^2\mid|x|=1,|y|\ne1\}</math>.
Ligne 177 :
Ces quatre fermés ne sont pas ouverts, puisque <math>\R^2</math> est [[../../Connexité|connexe]].
}}
Décrire géométriquement les 6 parties suivantes de <math>\R^2</math> et dire pour chacune d'elles si c'est un ouvert, un fermé, ou ni l'un ni l'autre.
#<math>\{(x,y)\in\R^2\mid xy=1\}</math> ;
#<math>\{(x,y)\in\R^2\mid0<|x-1|<1\}</math> ;
#<math>\{(x,y)\in\R^2\mid|x|<1,\;|y|\le1\}</math> ;
#<math>\{(x,y)\in\R^2\mid3x+4y=2\}</math> ;
#<math>\{(x,y)\in\R^2\mid0<x\le1\}</math> ;
#<math>\{(x,y)\in\R^2\mid|x|\ne1\mbox{ et }|y|\ne1\}</math>.
{{Solution|contenu=
#Cette hyperbole est un fermé, comme image réciproque du fermé <math>\{1\}</math> de <math>\R</math> par l'application continue <math>(x,y)\mapsto xy</math>.
#Cette réunion de deux bandes verticales ouvertes <math>0<x<1</math> et <math>1<x<2</math> est un ouvert, comme image réciproque de l'ouvert <math>]0,1[</math> de <math>\R</math> par l'application continue <math>(x,y)\mapsto|x-1|</math>.
#Ce carré avec ses deux bords horizontaux mais sans ses deux bords verticaux n'est ni ouvert (il contient des points d'ordonnée <math>\pm1</math>, qui sont sur sa frontière), ni fermé (il ne contient pas les points d'abscisse <math>\pm1</math> de sa frontière).
#Cette droite est (comme toute droite) un fermé, comme image réciproque du fermé <math>\{2\}</math> de <math>\R</math> par l'application continue <math>(x,y)\mapsto3x+4y</math>.
#Cette bande verticale avec son bord droit n'est ni ouverte (elle contient la droite <math>x=1</math>, qui est sur sa frontière), ni fermée (elle ne contient pas les points d'abscisse <math>-1</math> de sa frontière).
#Ce plan privé de quatre droites est un ouvert, puisque ces droites sont des fermés, ou encore : c'est l'intersection de deux ouverts images réciproques de l'ouvert <math>\R\setminus\{1\}</math> de <math>\R</math> par deux applications continues (<math>(x,y)\mapsto|x|</math> et <math>(x,y)\mapsto|y|</math>).
}}
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