« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

(+ Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude, sans utiliser la compacité)
#*L'e.v.n. <math>(E,\|\cdot\|)</math> est complet car <math>\left(H\times\R,\|\cdot\|'\right)</math> l'est, puisque <math>\left(H,\|\cdot\|_H\right)</math> l'est (par hypothèse de récurrence) et <math>\left(\R,|\cdot|\right)</math> aussi ;
#*La norme <math>\|\cdot\|</math> est équivalente à la norme<br><math>\sum_{i=0}^nx_ie_i\mapsto\max\left(\left\|\sum_{i=1}^nx_ie_i\right\|_H,\left|x_0\right|\right)</math>,<br>elle-même équivalente (par hypothèse de récurrence) à la norme<br><math>\sum_{i=0}^nx_ie_i\mapsto\max\left(\left\|\left(x_1,\dots,x_n\right)\right\|_\infty,\left|x_0\right|\right)=\left\|\left(x_0,\dots,x_n\right)\right\|_\infty</math>.
}}
 
==Exercice 3-5==
Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
#<math>\forall M>0\quad\exists R>0\quad\left(\|x\|>R\Rightarrow|f(x)|>M\right)</math> ;
#Pour toute partie bornée <math>B</math> de <math>\R</math>, <math>f^{-1}(B)</math> est une partie bornée de <math>\R^n</math> ;
#Pour toute partie compacte <math>K</math> de <math>\R</math>, <math>f^{-1}(K)</math> est une partie compacte de <math>\R^n</math>.
{{Solution|contenu=
<math>1\Longleftrightarrow\forall M>0\quad\exists R>0\quad f^{-1}(\overline{B(0,M)})\subset\overline{B(0,R)}\Longleftrightarrow2</math>.
 
<math>2\Rightarrow3</math> car tout compact <math>K</math> de <math>\R</math> est fermé dans <math>\R</math> et <math>f^{-1}(K)</math> est alors fermé dans <math>\R^n</math>.
 
<math>3\Rightarrow2</math> car une partie de <math>\R^n</math> est bornée si et seulement si elle est incluse dans un compact.
}}
 
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